Calcolo Esempi

$(x^{2} + 3) \frac{d y}{d x} - x = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 \frac{d y}{d x} - x = 0$

Passaggio 1.1.2

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 \frac{d y}{d x} = x$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da $x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 \frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 3 \frac{d y}{d x} = x$

Passaggio 1.1.3.2

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da $3 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 3 = x$

Passaggio 1.1.3.3

Scomponi $\frac{d y}{d x}$ da $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 3$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3) = x$

Passaggio 1.1.4

Dividi per $x^{2} + 3$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3) = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Dividi per $x^{2} + 3$ ciascun termine in $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3) = x$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.1.4.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u = x^{2} + 3$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = x^{2} + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C$