Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 2 x \sqrt{4 - y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} (2 x \sqrt{4 - y^{2}})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Passaggio 1.2.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ per $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}) (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Passaggio 1.2.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ per $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Passaggio 1.2.4.2

Eleva $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Passaggio 1.2.4.3

Eleva $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Passaggio 1.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Passaggio 1.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Passaggio 1.2.4.6

Riscrivi ${\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}$ come $(2 + y) (2 - y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ come ${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{({((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Passaggio 1.2.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Passaggio 1.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Passaggio 1.2.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Passaggio 1.2.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Passaggio 1.2.4.6.5

Semplifica.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Passaggio 1.2.5

$2$ e $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Passaggio 1.2.6

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{2^{2} - y^{2}})$

Passaggio 1.2.7

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{(2 + y) (2 - y)})$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $\frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{(2 + y) (2 - y)})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

$x$ e $\frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)})}{(2 + y) (2 - y)} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.8.2

$\frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)})}{(2 + y) (2 - y)}$ e $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}) \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.8.3

Eleva $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 ({\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}))}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.8.4

Eleva $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 ({\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1}))}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.8.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1 + 1})}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.8.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Riscrivi ${\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}$ come $(2 + y) (2 - y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ come ${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {({((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{1}}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.1.5

Semplifica.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 ((2 + y) (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.2

Espandi $(2 + y) (2 - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 (2 - y) + y (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 \cdot 2 + 2 (- y) + y (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 \cdot 2 + 2 (- y) + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.3.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 + 2 (- y) + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.3.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 \cdot y + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - y \cdot y)}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.3.1.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.3.1.5.1

Sposta $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - (y \cdot y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.3.1.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.3.2

Somma $- 2 y$ e $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 + 0 - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.3.3

Somma $4$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2^{2} - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.9.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 + y) (2 - y)}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.10

Elimina il fattore comune di $2 + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.10.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 + y) (2 - y)}{(2 + y) (2 - y)}$

Passaggio 1.2.10.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 - y)}{2 - y}$

Passaggio 1.2.11

Elimina il fattore comune di $2 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 - y)}{2 - y}$

Passaggio 1.2.11.2

Dividi $x \cdot 2$ per $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 2$

Passaggio 1.2.12

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} d y = 2 x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} d y = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}} d y = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}}$ rispetto a $y$ è $\arcsin (\frac{y}{2})$ .

$\arcsin (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int 2 x d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\arcsin (\frac{y}{2}) + C_{1}$ come $\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int 2 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) = x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova l'arcoseno inverso di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ dall'interno dell'arcoseno.

$\frac{1}{2} y = \sin (x^{2} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{2}$ e $y$ .

$\frac{y}{2} = \sin (x^{2} + K)$

Passaggio 3.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \sin (x^{2} + K)$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y}{2} = 2 \sin (x^{2} + K)$

Passaggio 3.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 2 \sin (x^{2} + K)$