Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d t} = \frac{9}{x}$ , $x (0) = 9$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x \frac{d x}{d t} = 9$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$x d x = 9 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int x d x = \int 9 d t$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int 9 d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = 9 t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = 9 t + K$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (9 t + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = 2 (9 t + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (9 t + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = 2 (9 t) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $9$ per $2$ .

$x^{2} = 18 t + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{18 t + 2 K}$

Passaggio 3.4

Scomponi $2$ da $18 t + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $18 t$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $2$ da $2 (9 t) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t + K)}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

Passaggio 4

Poiché $x$ è positiva nella condizione iniziale $(0, 9)$ , considera solo $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ per calcolare $K$ . Sostituisci $0$ a $t$ e $9$ a $x$ .

$9 = \sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$

Passaggio 5

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$ .

$\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$

Passaggio 5.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}}^{2} = 9^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$ come ${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{1} = 9^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

${(2 (0 + K))}^{1} = 9^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Somma $0$ e $K$ .

${(2 K)}^{1} = 9^{2}$

Passaggio 5.3.2.1.4

Semplifica.

$2 K = 9^{2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$2 K = 81$

Passaggio 5.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 K = 81$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 K = 81$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $K$ per $1$ .

$K = \frac{81}{2}$

Passaggio 6

Sostituisci $\frac{81}{2}$ a $K$ in $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci $\frac{81}{2}$ a $K$ .

$x = \sqrt{2 (9 t + \frac{81}{2})}$

Passaggio 6.2

Scomponi $9$ da $9 t + \frac{81}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $9$ da $9 t$ .

$x = \sqrt{2 (9 (t) + \frac{81}{2})}$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $9$ da $\frac{81}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (9 t + 9 (\frac{9}{2}))}$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $9$ da $9 t + 9 (\frac{9}{2})$ .

$x = \sqrt{2 (9 (t + \frac{9}{2}))}$

$x = \sqrt{2 \cdot 9 (t + \frac{9}{2})}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $2$ per $9$ .

$x = \sqrt{18 (t + \frac{9}{2})}$

Passaggio 6.4

Per scrivere $t$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{18 (t \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})}$

Passaggio 6.5

$t$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{18 (\frac{t \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})}$

Passaggio 6.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \sqrt{18 \frac{t \cdot 2 + 9}{2}}$

Passaggio 6.7

Sposta $2$ alla sinistra di $t$ .

$x = \sqrt{18 \frac{2 t + 9}{2}}$

Passaggio 6.8

$18$ e $\frac{2 t + 9}{2}$ .

$x = \sqrt{\frac{18 (2 t + 9)}{2}}$

Passaggio 6.9

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1

Riduci l'espressione $\frac{18 (2 t + 9)}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1.1

Scomponi $2$ da $18 (2 t + 9)$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2}}$

Passaggio 6.9.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 (1)}}$

Passaggio 6.9.1.3

Elimina il fattore comune.

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 \cdot 1}}$

Passaggio 6.9.1.4

Riscrivi l'espressione.

$x = \sqrt{\frac{9 (2 t + 9)}{1}}$

Passaggio 6.9.2

Dividi $9 (2 t + 9)$ per $1$ .

$x = \sqrt{9 (2 t + 9)}$

Passaggio 6.10

Riscrivi $9 (2 t + 9)$ come $3^{2} (2 t + 3^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.10.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 9)}$

Passaggio 6.10.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 3^{2})}$

Passaggio 6.11

Estrai i termini dal radicale.

$x = 3 \sqrt{2 t + 3^{2}}$

Passaggio 6.12

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = 3 \sqrt{2 t + 9}$