Calcolo Esempi

$\frac{d v}{d t} = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ , $v (2) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d v = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d v = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$v + C_{1} = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}} d t$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $\frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}}$ rispetto a $t$ è $arcsec (| t |)$ .

$v + C_{1} = 3 (arcsec (| t |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$v + C_{1} = 3 arcsec (| t |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$v = 3 arcsec (| t |) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $2$ e $v$ con $0$ in $v = 3 arcsec (| t |) + K$ .

$0 = 3 arcsec (| 2 |) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $3 arcsec (| 2 |) + K = 0$ .

$3 arcsec (| 2 |) + K = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$3 arcsec (2) + K = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Il valore esatto di $arcsec (2)$ è $\frac{π}{3}$ .

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$π + K = 0$

Passaggio 4.3

Sottrai $π$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - π$

Passaggio 5

Sostituisci $- π$ a $K$ in $v = 3 arcsec (| t |) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- π$ a $K$ .

$v = 3 arcsec (| t |) - π$