Calcolo Esempi

$3 x d y - 4 y d x = 0$

Passaggio 1

Somma $4 y d x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x d y = 4 y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Passaggio 3.2

$3$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3}{y} d y = 4 \frac{1}{x y} y d x$

Passaggio 3.5

$4$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x y} y d x$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{3}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{4}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$3 \ln (| y |) = 4 \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica $3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Semplifica $3 \ln (| y |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) - 4 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2.1.1.2

Semplifica $- 4 \ln (| x |)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln ({| x |}^{4}) = C$

Passaggio 5.2.1.1.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln (x^{4}) = C$

Passaggio 5.2.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$

Passaggio 5.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}})} = e^{C}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$ .

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica ogni lato per $x^{4}$ .

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.5.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

Passaggio 5.5.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

${| y |}^{3} = e^{C} x^{4}$

Passaggio 5.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.2.1

Riordina i fattori in $e^{C} x^{4}$ .

${| y |}^{3} = x^{4} e^{C}$

Passaggio 5.5.4

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.5.4.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$| y | = \sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$

Passaggio 5.5.4.2

Semplifica $\sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Riscrivi $x^{4} e^{C}$ come $x^{3} (x e^{C})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.1

Metti in evidenza $x^{3}$ .

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} x e^{C}}$

Passaggio 5.5.4.2.1.2

Aggiungi le parentesi.

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} (x e^{C})}$

Passaggio 5.5.4.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$| y | = x \sqrt[3]{x e^{C}}$

Passaggio 5.5.4.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm x \sqrt[3]{x e^{C}}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm x \sqrt[3]{x C}$