Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t^{2}}{9 y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{9 y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y$ da $9 y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{y \cdot 9}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{y \cdot 9}$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{8 t^{2}}{9}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{8 t^{2}}{9} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{8 t^{2}}{9} d t$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{8 t^{2}}{9} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{8}{9}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{8}{9}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} \int t^{2} d t$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $\frac{8}{9} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ come $\frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{8}{9}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9 \cdot 3} t^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Moltiplica $9$ per $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{27} t^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{8}{27} t^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{8}{27}$ e $t^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $2 \frac{8 t^{3}}{27}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

$2$ e $\frac{8 t^{3}}{27}$ .

$y^{2} = \frac{2 (8 t^{3})}{27} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Moltiplica $8$ per $2$ .

$y^{2} = \frac{16 t^{3}}{27} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $2$ da $\frac{16 t^{3}}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K)}$

Passaggio 3.4.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{27}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K \cdot \frac{27}{27})}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

$K$ e $\frac{27}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + \frac{K \cdot 27}{27})}$

Passaggio 3.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3} + K \cdot 27}{27}}$

Passaggio 3.4.4

Sposta $27$ alla sinistra di $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3} + 27 K}{27}}$

Passaggio 3.4.5

$2$ e $\frac{8 t^{3} + 27 K}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{27}}$

Passaggio 3.4.6

Riscrivi $\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{27}$ come ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $2 (8 t^{3} + 27 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{27}}$

Passaggio 3.4.6.2

Scomponi la potenza perfetta $3^{2}$ su $27$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{3^{2} \cdot 3}}$

Passaggio 3.4.6.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{3^{2} \cdot 3}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$

Passaggio 3.4.7

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$

Passaggio 3.4.8

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$ come $\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.9

Combina.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.10

Moltiplica $\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}$ per $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.11

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.12

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.12.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.12.2

Sposta $\sqrt{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Passaggio 3.4.12.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Passaggio 3.4.12.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Passaggio 3.4.12.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.12.6

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 3.4.12.7

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.12.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.12.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.12.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.12.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.12.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.12.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

Passaggio 3.4.12.7.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.4.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.13.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K) \cdot 3}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.4.13.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \cdot 3}$

Passaggio 3.4.14

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + K)}}{9}$