Calcolo Esempi

$\frac{d s}{d t} = 7 t {(4 t^{2} - 7)}^{3}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d s = 7 t {(4 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d s = \int 7 t {(4 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$s + C_{1} = \int 7 t {(4 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $t$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 7 \int t {(4 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 4 t^{2} - 7$ . Allora $d u = 8 t d t$ , quindi $\frac{1}{8} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 4 t^{2} - 7$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $4 t^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{2} - 7]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 t^{2} - 7$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [4 t^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $4 t^{2}$ rispetto a $t$ è $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7]$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 t + \frac{d}{d t} [- 7]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.3.2.1.4.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 7$ rispetto a $t$ è $0$ .

$8 t + 0$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Somma $8 t$ e $0$ .

$8 t$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$s + C_{1} = 7 \int u^{3} \frac{1}{8} d u$

Passaggio 2.3.3

$u^{3}$ e $\frac{1}{8}$ .

$s + C_{1} = 7 \int \frac{u^{3}}{8} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 7 (\frac{1}{8} \int u^{3} d u)$

Passaggio 2.3.5

$\frac{1}{8}$ e $7$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{8} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{8} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $\frac{7}{8} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ come $\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.2.1

Moltiplica $\frac{7}{8}$ per $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{8 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Moltiplica $8$ per $4$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{32} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 t^{2} - 7$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{32} {(4 t^{2} - 7)}^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$s = \frac{7}{32} {(4 t^{2} - 7)}^{4} + K$