Calcolo Esempi

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4} + 2 x y]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $3 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 x^{2} y^{4}$ rispetto a $y$ è $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x$

Passaggio 1.5

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 y^{3} x^{2} + 2 x$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3} - x^{2}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2 y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3} y^{3}$ rispetto a $x$ è $2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - (2 x)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $12 y^{3} x^{2} + 2 x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $6 y^{3} x^{2} - 2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $6 y^{3} x^{2} - 2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $12 y^{3} x^{2} + 2 x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{M}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ a $M$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Passaggio 4.3.2.4

Sottrai $12 y^{3} x^{2}$ da $6 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 2 x - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Passaggio 4.3.2.5

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Passaggio 4.3.2.6

Scomponi $2 x$ da $- 6 y^{3} x^{2} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.6.1

Scomponi $2 x$ da $- 6 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Passaggio 4.3.2.6.2

Scomponi $2 x$ da $- 4 x$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Passaggio 4.3.2.6.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Passaggio 4.3.3

Scomponi $x y$ da $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Scomponi $x y$ da $3 x^{2} y^{4}$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}$

Passaggio 4.3.3.2

Scomponi $x y$ da $2 x y$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}$

Passaggio 4.3.3.3

Scomponi $x y$ da $x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

Passaggio 4.3.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

Passaggio 4.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 (- 3 y^{3} x - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Passaggio 4.3.5

Elimina il fattore comune di $- 3 y^{3} x - 2$ e $3 x y^{3} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 y^{3} x$ .

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Passaggio 4.3.5.2

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 1 (2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Passaggio 4.3.5.3

Scomponi $- 1$ da $- (3 y^{3} x) - 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Passaggio 4.3.5.4

Riscrivi $- (3 y^{3} x + 2)$ come $- 1 (3 y^{3} x + 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Passaggio 4.3.5.5

Riordina i termini.

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

Passaggio 4.3.5.6

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

Passaggio 4.3.5.7

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Passaggio 4.3.7

Sostituisci $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ a $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Passaggio 5.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Passaggio 5.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 5.4

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 5.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Passaggio 5.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica $- 2 \ln (| y |)$ spostando $- 2$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Passaggio 5.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{- 2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Passaggio 5.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.3

Scomponi $x y$ da $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Scomponi $x y$ da $3 x^{2} y^{4}$ .

$\frac{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $x y$ da $2 x y$ .

$\frac{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.3.3

Scomponi $x y$ da $x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ .

$\frac{x y (3 x y^{3} + 2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $y$ e $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Scomponi $y$ da $x y (3 x y^{3} + 2)$ .

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Scomponi $y$ da $y^{2}$ .

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Passaggio 6.5

Moltiplica $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{2 x^{3} y^{3} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.7

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Scomponi $x^{2}$ da $2 x^{3} y^{3}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.7.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 6.7.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x$

Passaggio 8

Integra $M (x, y) = \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Poiché $\frac{1}{y}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{y}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3} + 2) d x$

Passaggio 8.2

Espandi $x (3 x y^{3} + 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3}) + x \cdot 2 d x$

Passaggio 8.2.2

Sposta le parentesi.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x) y^{3} + x \cdot 2 d x$

Passaggio 8.2.3

Rimuovi le parentesi.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x \cdot 3 x y^{3} + x \cdot 2 d x$

Passaggio 8.2.4

Riordina $x$ e $3$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 \cdot x \cdot x y^{3} + x \cdot 2 d x$

Passaggio 8.2.5

Riordina $x$ e $2$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x \cdot x y^{3} + 2 x d x$

Passaggio 8.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x) y^{3} + 2 x d x$

Passaggio 8.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x^{1}) y^{3} + 2 x d x$

Passaggio 8.2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{1 + 1} y^{3} + 2 x d x$

Passaggio 8.2.9

Somma $1$ e $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{2} y^{3} + 2 x d x$

Passaggio 8.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\int 3 x^{2} y^{3} d x + \int 2 x d x)$

Passaggio 8.4

Poiché $3 y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3 y^{3}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} \int x^{2} d x + \int 2 x d x)$

Passaggio 8.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x)$

Passaggio 8.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x)$

Passaggio 8.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Passaggio 8.8

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = \frac{1}{y}$ e $g (y) = y^{3} x^{3} + x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d y} [y^{3} x^{3} + x^{2}] + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{3} x^{3} + x^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{y} (\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.3

Poiché $x^{3}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{3} x^{3}$ rispetto a $y$ è $x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.5

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.6

Riscrivi $\frac{1}{y}$ come $y^{- 1}$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.8

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$\frac{1}{y} (3 \cdot x^{3} y^{2} + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.9

Somma $3 x^{3} y^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{y} (3 x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.10

$3$ e $\frac{1}{y}$ .

$\frac{3}{y} (x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.11

$x^{3}$ e $\frac{3}{y}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3}{y} y^{2} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.12

$\frac{x^{3} \cdot 3}{y}$ e $y^{2}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3 y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.13

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot x^{3} y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.14

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.14.1

Scomponi $y$ da $3 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.14.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y^{1}} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.14.2.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.14.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.14.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x^{3} y}{1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.3.14.2.5

Dividi $3 x^{3} y$ per $1$ .

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x^{3} y + y^{3} x^{3} (- \frac{1}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.1

$y^{3}$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y + x^{3} (- \frac{y^{3}}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.5.3.2

$x^{3}$ e $\frac{y^{3}}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y^{3}}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.5.3.3

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ e $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.3.1

Scomponi $y^{2}$ da $x^{3} y^{3}$ .

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.5.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.3.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.5.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y}{1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.5.3.3.2.4

Dividi $x^{3} y$ per $1$ .

$3 x^{3} y - (x^{3} y) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.5.3.4

$x^{2}$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y - x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.5.3.5

Sottrai $x^{3} y$ da $3 x^{3} y$ .

$2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 11.5.4

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Sottrai $\frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x \cdot x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x^{1} x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.3.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{1 + 2} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.3.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.3.3

Moltiplica $- x^{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.3.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.3.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.3.4.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.4

Combina i termini opposti in $- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.4.1

Somma $- x^{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3} + 0}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.4.2

Somma $- 2 x^{3} y^{3}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3}}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.5

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ e $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.5.1

Scomponi $y^{2}$ da $- 2 x^{3} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2}} = 0$

Passaggio 12.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.5.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Passaggio 12.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Passaggio 12.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y}{1} = 0$

Passaggio 12.1.5.2.4

Dividi $- 2 x^{3} y$ per $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y = 0$

Passaggio 12.1.6

Combina i termini opposti in $\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.6.1

Sottrai $2 x^{3} y$ da $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Passaggio 12.1.6.2

Somma $\frac{d g}{d y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Passaggio 13.3

L'integrale di $0$ rispetto a $y$ è $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Passaggio 13.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

Passaggio 15

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $y^{3} x^{3} + x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x^{3} + x^{2}}{y} + C$

Passaggio 15.2

Scomponi $x^{2}$ da $y^{3} x^{3} + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Scomponi $x^{2}$ da $y^{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2}}{y} + C$

Passaggio 15.2.2

Moltiplica per $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1}{y} + C$

Passaggio 15.2.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x + 1)}{y} + C$