Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 2 y + 2$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{2 y + 2}$ .

$\frac{1}{2 y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 2} (2 y + 2)$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $2 y + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 2} (2 y + 2)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 y + 2} \frac{d y}{d x} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{2 y + 2} d y = 1 d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{2 y + 2} d y = \int d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 2 y + 2$ . Allora $d u = 2 d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 2 y + 2$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $2 y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 2]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y + 2$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y$ rispetto a $y$ è $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [2]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2$ rispetto a $y$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 y + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |) = x + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |)) = 2 (x + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| 2 y + 2 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 2 |)}{2} = 2 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 2 |)}{2} = 2 (x + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 2 y + 2 |) = 2 (x + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 2 y + 2 |) = 2 x + 2 C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 2 y + 2 |)} = e^{2 x + 2 C}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (| 2 y + 2 |) = 2 x + 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 x + 2 C} = | 2 y + 2 |$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $| 2 y + 2 | = e^{2 x + 2 C}$ .

$| 2 y + 2 | = e^{2 x + 2 C}$

Passaggio 3.5.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$2 y + 2 = \pm e^{2 x + 2 C}$

Passaggio 3.5.3

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y = \pm e^{2 x + 2 C} - 2$

Passaggio 3.5.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \pm e^{2 x + 2 C} - 2$ e semplifica.

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Passaggio 3.5.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y = \pm e^{2 x + 2 C} - 2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 2}{2}$

Passaggio 3.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 2}{2}$

Passaggio 3.5.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 2}{2}$

Passaggio 3.5.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.5.4.3.1

Dividi $- 2$ per $2$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} - 1$

Passaggio 3.5.4.3.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.5.4.3.3

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.5.4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C} - 1 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.5.4.3.5

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C} - 2}{2}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\pm e^{2 x + C} - 2}{2}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{2 x + C}$ come $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x} e^{C} - 2}{2}$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{2 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{2 x} - 2}{2}$

Passaggio 4.4

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \frac{C e^{2 x} - 2}{2}$