Calcolo Esempi

$e^{- y} d x + (1 - x e^{- y}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{u} \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \cdot - 1$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot e^{- y}$

Passaggio 1.3.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- y}$ come $- e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - e^{- y}$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 1 - x e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 - x e^{- y}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x e^{- y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- e^{- y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x e^{- y}$ rispetto a $x$ è $- e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y}$

Passaggio 2.4

Sottrai $e^{- y}$ da $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{- y}$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- e^{- y}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- e^{- y}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- e^{- y} = - e^{- y}$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$- e^{- y} = - e^{- y}$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{- y} d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = e^{- y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = e^{- y} x + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 1 - x e^{- y}$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x + g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{- y} x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [e^{- y} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $e^{- y} x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Passaggio 8.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Passaggio 8.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- y$ .

$x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Passaggio 8.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Passaggio 8.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Passaggio 8.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x (e^{- y} \cdot - 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Passaggio 8.3.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- y}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Passaggio 8.3.7

Riscrivi $- 1 e^{- y}$ come $- e^{- y}$ .

$x (- e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y}$

Passaggio 8.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x = 1 - x e^{- y}$

Passaggio 8.5.2

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d y} - e^{- y} x$ .

$\frac{d g}{d y} - x e^{- y} = 1 - x e^{- y}$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Somma $x e^{- y}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y} + x e^{- y}$

Passaggio 9.1.2

Combina i termini opposti in $1 - x e^{- y} + x e^{- y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Somma $- x e^{- y}$ e $x e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 1 + 0$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 1$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $1$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Passaggio 10.3

Applica la regola costante.

$g (y) = y + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- y} x + y + C$

Passaggio 12

Riordina i fattori in $f (x, y) = e^{- y} x + y + C$ .

$f (x, y) = x e^{- y} + y + C$