Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = y t^{2} - 1.1 y$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Scomponi.

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $y$ da $y t^{2} - 1.1 y$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $y$ da $y t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2}) - 1.1 y$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $y$ da $- 1.1 y$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2}) + y \cdot - 1.1$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $y$ da $y (t^{2}) + y \cdot - 1.1$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2} - 1.1)$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $1.1$ come ${1.04880884}^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2} - {1.04880884}^{2})$

Passaggio 1.1.3

Scomponi.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = t$ e $b = 1.04880884$ .

$\frac{d y}{d t} = y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884))$

Passaggio 1.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{d y}{d t} = y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884))$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $y$ da $y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884)))$

Passaggio 1.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884)))$

Passaggio 1.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$

Passaggio 1.3.2

Espandi $(t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t (t - 1.04880884) + 1.04880884 (t - 1.04880884)$

Passaggio 1.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 (t - 1.04880884)$

Passaggio 1.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Passaggio 1.3.3

Combina i termini opposti in $t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$ .

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Passaggio 1.3.3.1

Riordina i fattori nei termini di $t \cdot - 1.04880884$ e $1.04880884 t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t - 1.04880884 t + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Passaggio 1.3.3.2

Somma $- 1.04880884 t$ e $1.04880884 t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + 0 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Passaggio 1.3.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.4.1

Moltiplica $t$ per $t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Passaggio 1.3.4.2

Moltiplica $0$ per $t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $1.04880884$ per $- 1.04880884$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 - 1.1$

Passaggio 1.3.5

Somma $t^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} - 1.1$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = (t^{2} - 1.1) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int t^{2} - 1.1 d t$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int t^{2} - 1.1 d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int t^{2} d t + \int - 1.1 d t$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} + \int - 1.1 d t$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} - 1.1 t + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$

Passaggio 3.3.2

$\frac{1}{3}$ e $t^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$

Passaggio 3.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$ come $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$