Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 3$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.6

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$y + C_{1} = - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Passaggio 2.3.8

Riordina i termini.

$y + C_{1} = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $3$ in $y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C$

Passaggio 4

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Passaggio 4.2

Semplifica $- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Dividi $7$ per $1$ .

$- 1 - 1 \cdot 7 + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$- 1 - 7 + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Passaggio 4.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$- 1 - 7 + 5 \ln (1) + C = 3$

Passaggio 4.2.1.4

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$- 1 - 7 + 5 \cdot 0 + C = 3$

Passaggio 4.2.1.5

Moltiplica $5$ per $0$ .

$- 1 - 7 + 0 + C = 3$

Passaggio 4.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 4.2.2.1

Somma $- 1 - 7$ e $0$ .

$- 1 - 7 + C = 3$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $7$ da $- 1$ .

$- 8 + C = 3$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 3 + 8$

Passaggio 4.3.2

Somma $3$ e $8$ .

$C = 11$

Passaggio 5

Sostituisci $11$ a $C$ in $y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $11$ a $C$ .

$y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + 11$

Passaggio 5.2

Semplifica $5 \ln (| x |)$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$y = - x - \frac{7}{x} + \ln ({| x |}^{5}) + 11$