Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - y}{y + 1}$ , $y (3) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $y$ da $x^{2} y - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $y$ da $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - y}{y + 1}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 1}{y + 1}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $y$ da $y x^{2} + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1)}{y + 1}$

Passaggio 1.1.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1^{2})}{y + 1}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ((x + 1) (x - 1))}{y + 1}$

Passaggio 1.1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1) (x - 1)}{y + 1}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x (x - 1) + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

Passaggio 1.4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

Passaggio 1.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Passaggio 1.4.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Passaggio 1.4.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Passaggio 1.4.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Passaggio 1.4.2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Passaggio 1.4.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x - 1) \frac{y}{y + 1})$

Passaggio 1.4.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + 0 - 1) \frac{y}{y + 1})$

Passaggio 1.4.2.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1) \frac{y}{y + 1})$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $x^{2} - 1$ per $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

Passaggio 1.4.4

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

Passaggio 1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} ((x^{2} - 1) y)$

Passaggio 1.4.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.5.1

Scomponi $y$ da $(x^{2} - 1) y$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

Passaggio 1.4.5.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

Passaggio 1.4.5.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y + 1}{y} d y = (x^{2} - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.4

Applica la regola costante.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $3$ e $y$ con $1$ in $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ .

$1 + \ln (| 1 |) = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$

Passaggio 4

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.2

Semplifica $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Scomponi $3$ da $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$9 - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$9 - 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $3$ da $9$ .

$6 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Passaggio 4.3

Semplifica $1 + \ln (| 1 |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$6 + C = 1 + \ln (1)$

Passaggio 4.3.1.2

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$6 + C = 1 + 0$

Passaggio 4.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$6 + C = 1$

Passaggio 4.4

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 1 - 6$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $6$ da $1$ .

$C = - 5$

Passaggio 5

Sostituisci $- 5$ a $C$ in $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $- 5$ a $C$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x - 5$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3} - x - 5$