Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}} y^{4}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (t^{\frac{5}{2}} y^{4})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{4}$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $y^{4}$ da $t^{\frac{5}{2}} y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{4}} d y = t^{\frac{5}{2}} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int y^{- 4} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 4}$ rispetto a $y$ è $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ come $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{y^{3}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Passaggio 2.2.3.2.2

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + K$