Calcolo Esempi

$\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x + \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $e^{3 x + 3 y}$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 y}$ e $e^{3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $e^{3 x}$ da $e^{2 y}$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Passaggio 3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Passaggio 3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y - 3 x}}{1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Passaggio 3.1.2.4

Dividi $e^{2 y - 3 x}$ per $1$ .

$e^{3 x + 3 y} e^{2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $e^{3 x + 3 y}$ per $e^{2 y - 3 x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{3 x + 3 y + 2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Passaggio 3.2.2

Combina i termini opposti in $3 x + 3 y + 2 y - 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$e^{3 y + 2 y + 0} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $3 y + 2 y$ e $0$ .

$e^{3 y + 2 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Passaggio 3.2.3

Somma $3 y$ e $2 y$ .

$e^{5 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ e $e^{3 y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $e^{3 y}$ da $e^{2 x}$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y}} d x$

Passaggio 3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

Passaggio 3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

Passaggio 3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x - 3 y}}{1} d x$

Passaggio 3.4.2.4

Dividi $e^{2 x - 3 y}$ per $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} e^{2 x - 3 y} d x$

Passaggio 3.5

Moltiplica $e^{3 x + 3 y}$ per $e^{2 x - 3 y}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta $e^{2 x - 3 y}$ .

$e^{5 y} d y = - (e^{2 x - 3 y} e^{3 x + 3 y}) d x$

Passaggio 3.5.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{5 y} d y = - e^{2 x - 3 y + 3 x + 3 y} d x$

Passaggio 3.5.3

Combina i termini opposti in $2 x - 3 y + 3 x + 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Somma $- 3 y$ e $3 y$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x + 0} d x$

Passaggio 3.5.3.2

Somma $2 x + 3 x$ e $0$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x} d x$

Passaggio 3.5.4

Somma $2 x$ e $3 x$ .

$e^{5 y} d y = - e^{5 x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int e^{5 y} d y = \int - e^{5 x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u_{1} = 5 y$ . Allora $d u_{1} = 5 d y$ , quindi $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u_{1} = 5 y$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $5 y$ rispetto a $y$ è $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 4.2.1.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Passaggio 4.2.2

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Passaggio 4.2.4

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int - e^{5 x} d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Passaggio 4.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $5 y$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{5 x} d x$

Passaggio 4.3.2

Sia $u_{2} = 5 x$ . Allora $d u_{2} = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sia $u_{2} = 5 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Differenzia $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 4.3.2.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 4.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Passaggio 4.3.4

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 4.3.5

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Passaggio 4.3.6

Semplifica.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{u_{2}} + C_{2}$

Passaggio 4.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $5$ .

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y}) = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $5 (\frac{1}{5} e^{5 y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

$\frac{1}{5}$ e $e^{5 y}$ .

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica $5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

$e^{5 x}$ e $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5} + K)$

Passaggio 5.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5}) + 5 K$

Passaggio 5.2.2.1.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{5 x}}{5}$ nel numeratore.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

Passaggio 5.2.2.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{5 y} = - e^{5 x} + 5 K$

Passaggio 5.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{5 y}) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Passaggio 5.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Espandi $\ln (e^{5 y})$ spostando $5 y$ fuori dal logaritmo.

$5 y \ln (e) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Passaggio 5.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$5 y \cdot 1 = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Passaggio 5.4.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Passaggio 5.5

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + K)}{5}$