Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 3 \cos (x)$ , $y (0) = 15$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (9 x^{2} + 3 \cos (x)) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 9 x^{2} + 3 \cos (x) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} + 3 \cos (x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} d x + \int 3 \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 9 \int x^{2} d x + \int 3 \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 3 \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 (\sin (x) + C_{3})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Semplifica.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.2.1

$9$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Elimina il fattore comune di $9$ e $3$ .

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Passaggio 2.3.6.2.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.6.2.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Passaggio 2.3.6.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$y + C_{1} = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $15$ in $y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$ .

$15 = 3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K = 15$ .

$3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K = 15$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica $3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K$ .

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Passaggio 4.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 \cdot 0 + 3 \sin (0) + K = 15$

Passaggio 4.2.1.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 + 3 \sin (0) + K = 15$

Passaggio 4.2.1.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$0 + 3 \cdot 0 + K = 15$

Passaggio 4.2.1.1.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 + 0 + K = 15$

Passaggio 4.2.1.2

Combina i termini opposti in $0 + 0 + K$ .

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Passaggio 4.2.1.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + K = 15$

Passaggio 4.2.1.2.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = 15$

Passaggio 5

Sostituisci $15$ a $K$ in $y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $15$ a $K$ .

$y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + 15$