Calcolo Esempi

$\frac{d P}{d t} = P^{2} - 7 P + 12$ , $P (0) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12}$ .

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} (P^{2} - 7 P + 12)$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $P^{2} - 7 P + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} (P^{2} - 7 P + 12)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} d P = 1 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} d P = \int d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Scomponi $P^{2} - 7 P + 12$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $12$ e la cui somma è $- 7$ .

$- 4, - 3$

Passaggio 2.2.1.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{1}{(P - 4) (P - 3)}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{P - 4}$

Passaggio 2.2.1.1.3

$\frac{A}{P - 4} + \frac{B}{P - 3}$

Passaggio 2.2.1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(P - 4) (P - 3)$ .

$\frac{1 (P - 4) (P - 3)}{(P - 4) (P - 3)} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Passaggio 2.2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $P - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (P - 4) (P - 3)}{(P - 4) (P - 3)} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Passaggio 2.2.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (P - 3)}{P - 3} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Passaggio 2.2.1.1.6

Elimina il fattore comune di $P - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (P - 3)}{P - 3} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Passaggio 2.2.1.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Passaggio 2.2.1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $P - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Passaggio 2.2.1.1.7.1.2

Dividi $(A) (P - 3)$ per $1$ .

$1 = (A) (P - 3) + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Passaggio 2.2.1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A P + A \cdot - 3 + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Passaggio 2.2.1.1.7.3

Sposta $- 3$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A P - 3 \cdot A + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Passaggio 2.2.1.1.7.4

Elimina il fattore comune di $P - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A P - 3 A + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Passaggio 2.2.1.1.7.4.2

Dividi $(B) (P - 4)$ per $1$ .

$1 = A P - 3 A + (B) (P - 4)$

Passaggio 2.2.1.1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A P - 3 A + B P + B \cdot - 4$

Passaggio 2.2.1.1.7.6

Sposta $- 4$ alla sinistra di $B$ .

$1 = A P - 3 A + B P - 4 B$

Passaggio 2.2.1.1.8

Sposta $- 3 A$ .

$1 = A P + B P - 3 A - 4 B$

Passaggio 2.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $P$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 2.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $P$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 3 A - 4 B$

Passaggio 2.2.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = - 3 A - 4 B$

$0 = A + B$

$1 = - 3 A - 4 B$

Passaggio 2.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 3 A - 4 B$

Passaggio 2.2.1.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - B$

$1 = - 3 A - 4 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A - 4 B$

Passaggio 2.2.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = - 3 A - 4 B$ con $- B$ .

$1 = - 3 (- B) - 4 B$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.2.1

Semplifica $- 3 (- B) - 4 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$1 = 3 B - 4 B$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.2.2.1.2

Sottrai $4 B$ da $3 B$ .

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = - B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- B = 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.3.2.2.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.3.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- 1$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B$ con $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

Passaggio 2.2.1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

Passaggio 2.2.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 1, B = - 1$

Passaggio 2.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{P - 4} + \frac{B}{P - 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{1}{P - 4} + \frac{- 1}{P - 3}$

Passaggio 2.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{P - 4} - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{P - 4} d P + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.3

Sia $u_{1} = P - 4$ . Allora $d u_{1} = d P$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sia $u_{1} = P - 4$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d P}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Differenzia $P - 4$ .

$\frac{d}{d P} [P - 4]$

Passaggio 2.2.3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $P - 4$ rispetto a $P$ è $\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 4]$ .

$\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 4]$

Passaggio 2.2.3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ è $n P^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d P} [- 4]$

Passaggio 2.2.3.1.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $P$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $P$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.3.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $P$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Passaggio 2.2.6

Sia $u_{2} = P - 3$ . Allora $d u_{2} = d P$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Sia $u_{2} = P - 3$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d P}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1.1

Differenzia $P - 3$ .

$\frac{d}{d P} [P - 3]$

Passaggio 2.2.6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $P - 3$ rispetto a $P$ è $\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 3]$ .

$\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 3]$

Passaggio 2.2.6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ è $n P^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d P} [- 3]$

Passaggio 2.2.6.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $P$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $P$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.6.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Passaggio 2.2.7

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

Passaggio 2.2.8

Semplifica.

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Passaggio 2.2.9

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int d t$

Passaggio 2.2.10

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.10.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $P - 4$ .

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int d t$

Passaggio 2.2.10.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $P - 3$ .

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) + C_{3} = \int d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) + C_{3} = t + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) = t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per risolvere per $P$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |})} = e^{t + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) = t + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{t + C} = \frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}$

Passaggio 3.3

Risolvi per $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} = e^{t + C}$ .

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} = e^{t + C}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica ogni lato per $| P - 3 |$ .

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} | P - 3 | = e^{t + C} | P - 3 |$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $| P - 3 |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} | P - 3 | = e^{t + C} | P - 3 |$

Passaggio 3.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| P - 4 | = e^{t + C} | P - 3 |$

Passaggio 3.3.4

Risolvi per $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Riscrivi l'equazione come $e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ .

$e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$

Passaggio 3.3.4.2

Dividi per $e^{t + C}$ ciascun termine in $e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1

Dividi per $e^{t + C}$ ciascun termine in $e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ .

$\frac{e^{t + C} | P - 3 |}{e^{t + C}} = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

Passaggio 3.3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{t + C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{t + C} | P - 3 |}{e^{t + C}} = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

Passaggio 3.3.4.2.2.1.2

Dividi $| P - 3 |$ per $1$ .

$| P - 3 | = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

Passaggio 3.3.4.3

Riscrivi l'equazione con valore assoluto come quattro equazioni senza le barre di valore assoluto

$P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$- (P - 3) = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$- (P - 3) = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

Passaggio 3.3.4.4

Dopo la semplificazione, ci sono solo due equazioni univoche da risolvere.

$P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

Passaggio 3.3.4.5

Risolvi $P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ per $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.5.1

Moltiplica ogni lato per $e^{t + C}$ .

$(P - 3) e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Passaggio 3.3.4.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.5.2.1.1

Semplifica $(P - 3) e^{t + C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$P e^{t + C} - 3 e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Passaggio 3.3.4.5.2.1.1.2

Semplifica con la commutazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.5.2.1.1.2.1

Riordina $t$ e $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Passaggio 3.3.4.5.2.1.1.2.2

Riordina $t$ e $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Passaggio 3.3.4.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{t + C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Passaggio 3.3.4.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = P - 4$

Passaggio 3.3.4.5.3

Risolvi per $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.5.3.1

Sottrai $P$ da entrambi i lati dell'equazione.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} - P = - 4$

Passaggio 3.3.4.5.3.2

Somma $3 e^{C + t}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$P e^{C + t} - P = - 4 + 3 e^{C + t}$

Passaggio 3.3.4.5.3.3

Scomponi $P$ da $P e^{C + t} - P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.5.3.3.1

Scomponi $P$ da $P e^{C + t}$ .

$P e^{C + t} - P = - 4 + 3 e^{C + t}$

Passaggio 3.3.4.5.3.3.2

Scomponi $P$ da $- P$ .

$P e^{C + t} + P \cdot - 1 = - 4 + 3 e^{C + t}$

Passaggio 3.3.4.5.3.3.3

Scomponi $P$ da $P e^{C + t} + P \cdot - 1$ .

$P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$

Passaggio 3.3.4.5.3.4

Dividi per $e^{C + t} - 1$ ciascun termine in $P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.5.3.4.1

Dividi per $e^{C + t} - 1$ ciascun termine in $P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$ .

$\frac{P (e^{C + t} - 1)}{e^{C + t} - 1} = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Passaggio 3.3.4.5.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.5.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{C + t} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.5.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{P (e^{C + t} - 1)}{e^{C + t} - 1} = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Passaggio 3.3.4.5.3.4.2.1.2

Dividi $P$ per $1$ .

$P = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Passaggio 3.3.4.5.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.5.3.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$P = \frac{- 4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Passaggio 3.3.4.5.3.4.3.2

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$P = \frac{- 1 (4) + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Passaggio 3.3.4.5.3.4.3.3

Scomponi $- 1$ da $3 e^{C + t}$ .

$P = \frac{- 1 (4) - (- 3 e^{C + t})}{e^{C + t} - 1}$

Passaggio 3.3.4.5.3.4.3.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (4) - (- 3 e^{C + t})$ .

$P = \frac{- 1 (4 - 3 e^{C + t})}{e^{C + t} - 1}$

Passaggio 3.3.4.5.3.4.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Passaggio 3.3.4.6

Risolvi $P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ per $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.1

Moltiplica ogni lato per $e^{t + C}$ .

$(P - 3) e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Passaggio 3.3.4.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.2.1.1

Semplifica $(P - 3) e^{t + C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$P e^{t + C} - 3 e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Passaggio 3.3.4.6.2.1.1.2

Semplifica con la commutazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.2.1.1.2.1

Riordina $t$ e $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Passaggio 3.3.4.6.2.1.1.2.2

Riordina $t$ e $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Passaggio 3.3.4.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.2.2.1

Semplifica $- \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{t + C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.2.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ nel numeratore.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{- (P - 4)}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Passaggio 3.3.4.6.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{- (P - 4)}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Passaggio 3.3.4.6.2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - (P - 4)$

Passaggio 3.3.4.6.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - P - - 4$

Passaggio 3.3.4.6.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - P + 4$

Passaggio 3.3.4.6.3

Risolvi per $P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.3.1

Somma $P$ a entrambi i lati dell'equazione.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} + P = 4$

Passaggio 3.3.4.6.3.2

Somma $3 e^{C + t}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

Passaggio 3.3.4.6.3.3

Scomponi $P$ da $P e^{C + t} + P$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.3.3.1

Scomponi $P$ da $P e^{C + t}$ .

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

Passaggio 3.3.4.6.3.3.2

Eleva $P$ alla potenza di $1$ .

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

Passaggio 3.3.4.6.3.3.3

Scomponi $P$ da $P^{1}$ .

$P e^{C + t} + P \cdot 1 = 4 + 3 e^{C + t}$

Passaggio 3.3.4.6.3.3.4

Scomponi $P$ da $P e^{C + t} + P \cdot 1$ .

$P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$

Passaggio 3.3.4.6.3.4

Dividi per $e^{C + t} + 1$ ciascun termine in $P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.3.4.1

Dividi per $e^{C + t} + 1$ ciascun termine in $P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$ .

$\frac{P (e^{C + t} + 1)}{e^{C + t} + 1} = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Passaggio 3.3.4.6.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{C + t} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{P (e^{C + t} + 1)}{e^{C + t} + 1} = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Passaggio 3.3.4.6.3.4.2.1.2

Dividi $P$ per $1$ .

$P = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Passaggio 3.3.4.6.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.6.3.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Passaggio 3.3.4.7

Elenca tutte le soluzioni.

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$P = - \frac{4 - 3 e^{t + C}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $e^{t + C}$ come $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{t} e^{C})}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Passaggio 4.3

Riordina $e^{t}$ e $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Passaggio 4.4

Riordina i termini.

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t + C} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Passaggio 4.5

Riscrivi $e^{t + C}$ come $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t} e^{C} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Passaggio 4.6

Riordina $e^{t}$ e $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Passaggio 4.7

Riordina i termini.

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{t + C}}{e^{C + t} + 1}$

Passaggio 4.8

Riscrivi $e^{t + C}$ come $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{t} e^{C})}{e^{C + t} + 1}$

Passaggio 4.9

Riordina $e^{t}$ e $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C + t} + 1}$

Passaggio 4.10

Riordina i termini.

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t + C} + 1}$

Passaggio 4.11

Riscrivi $e^{t + C}$ come $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t} e^{C} + 1}$

Passaggio 4.12

Riordina $e^{t}$ e $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} + 1}$

Passaggio 5

Poiché $P$ è positiva nella condizione iniziale $(0, 1)$ , considera solo $P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$ per calcolare $C$ . Sostituisci $0$ a $t$ e $1$ a $P$ .

$1 = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{0})}{e^{C} e^{0} - 1}$

Passaggio 6

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} = 1$ .

$- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} = 1$

Passaggio 6.2

Moltiplica ogni lato per $e^{C} e^{0} - 1$ .

$- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Semplifica $- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{C} e^{0} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1}$ nel numeratore.

$\frac{- (4 - 3 e^{C} e^{0})}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Passaggio 6.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- (4 - 3 e^{C} e^{0})}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Passaggio 6.3.1.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- (4 - 3 e^{C} e^{0}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Passaggio 6.3.1.1.2

Moltiplica $e^{C}$ per $e^{0}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.2.1

Sposta $e^{0}$ .

$- (4 - 3 (e^{0} e^{C})) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Passaggio 6.3.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- (4 - 3 e^{0 + C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Passaggio 6.3.1.1.2.3

Somma $0$ e $C$ .

$- (4 - 3 e^{C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Passaggio 6.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 \cdot 4 - (- 3 e^{C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Passaggio 6.3.1.1.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 - (- 3 e^{C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Passaggio 6.3.1.1.4.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$- 4 + 3 e^{C} = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica $1 (e^{C} e^{0} - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Moltiplica $e^{C} e^{0} - 1$ per $1$ .

$- 4 + 3 e^{C} = e^{C} e^{0} - 1$

Passaggio 6.3.2.1.2

Moltiplica $e^{C}$ per $e^{0}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 4 + 3 e^{C} = e^{C + 0} - 1$

Passaggio 6.3.2.1.2.2

Somma $C$ e $0$ .

$- 4 + 3 e^{C} = e^{C} - 1$

Passaggio 6.4

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Sposta tutti i termini contenenti $C$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Sottrai $e^{C}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 + 3 e^{C} - e^{C} = - 1$

Passaggio 6.4.1.2

Sottrai $e^{C}$ da $3 e^{C}$ .

$- 4 + 2 e^{C} = - 1$

Passaggio 6.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 e^{C} = - 1 + 4$

Passaggio 6.4.2.2

Somma $- 1$ e $4$ .

$2 e^{C} = 3$

Passaggio 6.4.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 e^{C} = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 e^{C} = 3$ .

$\frac{2 e^{C}}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 6.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 e^{C}}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 6.4.3.2.1.2

Dividi $e^{C}$ per $1$ .

$e^{C} = \frac{3}{2}$

Passaggio 6.4.4

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{C}) = \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 6.4.5

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.5.1

Espandi $\ln (e^{C})$ spostando $C$ fuori dal logaritmo.

$C \ln (e) = \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 6.4.5.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$C \cdot 1 = \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 6.4.5.3

Moltiplica $C$ per $1$ .

$C = \ln (\frac{3}{2})$

Passaggio 7

Sostituisci $\ln (\frac{3}{2})$ a $C$ in $P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $\ln (\frac{3}{2})$ a $C$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t})}{e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t} - 1}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $e^{\ln (\frac{3}{2})}$ per $e^{t}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sposta $e^{t}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{t} e^{\ln (\frac{3}{2})})}{e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t} - 1}$

Passaggio 7.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$P = - \frac{4 - 3 e^{t + \ln (\frac{3}{2})}}{e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t} - 1}$

Passaggio 7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$P = - \frac{4 - 3 e^{t + \ln (\frac{3}{2})}}{e^{\ln (\frac{3}{2}) + t} - 1}$