Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 2 e^{x} + y$

Passaggio 1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - y = 2 e^{x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 1$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 1 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{- x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- x}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (2 e^{x})$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (2 e^{x})$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 e^{- x} e^{x}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $e^{- x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1

Sposta $e^{x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 (e^{x} e^{- x})$

Passaggio 3.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 e^{x - x}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2 e^{0}$

Passaggio 3.5

Semplifica $2 e^{0}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2$

Passaggio 3.6

Riordina i fattori in $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = 2$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = 2$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = 2$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int 2 d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- x} y = \int 2 d x$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$e^{- x} y = 2 x + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{- x}$ ciascun termine in $e^{- x} y = 2 x + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{- x}$ ciascun termine in $e^{- x} y = 2 x + C$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{2 x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{2 x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{2 x}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$