Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \sqrt{x - 3}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = x^{2} \sqrt{x - 3} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x^{2} \sqrt{x - 3} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x^{2} \sqrt{x - 3} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = \sqrt{x - 3}$ .

$y + C_{1} = x^{2} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$\frac{2}{3}$ e ${(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = x^{2} \frac{2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Passaggio 2.3.2.2

$x^{2}$ e $\frac{2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{2}{3} \cdot 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3} \cdot 2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 2 \int {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

$\frac{2}{3}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{3} \int {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

Passaggio 2.3.5

Sia $u = x - 3$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.5.1

Sia $u = x - 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 2.3.5.1.4

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (u + 3) d u$

Passaggio 2.3.6

Espandi $u^{\frac{3}{2}} (u + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot 3 d u$

Passaggio 2.3.6.2

Riordina $u^{\frac{3}{2}}$ e $3$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + 3 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 2.3.6.3

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u^{1} + 3 u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 2.3.6.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + 1} + 3 u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 2.3.6.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 3 u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 2.3.6.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3 + 2}{2}} + 3 u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 2.3.6.7

Somma $3$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} + 3 u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 2.3.6.8

Riordina $u^{\frac{5}{2}}$ e $3 u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int 3 u^{\frac{3}{2}} + u^{\frac{5}{2}} d u$

Passaggio 2.3.7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\int 3 u^{\frac{3}{2}} d u + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

Passaggio 2.3.8

Poiché $3$ è costante rispetto a $u$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (3 \int u^{\frac{3}{2}} d u + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

Passaggio 2.3.9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (3 (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{2}) + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

Passaggio 2.3.10

$\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (3 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \int u^{\frac{5}{2}} d u)$

Passaggio 2.3.11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (3 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C_{3})$

Passaggio 2.3.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.1

$\frac{2}{7}$ e $u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 3)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (3 (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C_{2}) + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + C_{3})$

Passaggio 2.3.12.2

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.3.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2}}{3} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3.2

$\frac{2 x^{2}}{3}$ e ${(x - 3)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (3 (\frac{2}{5}) u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3.3

$3$ e $\frac{2}{5}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{3 \cdot 2}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3.5

Per scrivere $- \frac{4}{3} (\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot \frac{3}{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3.6

$- \frac{4}{3} (\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}})$ e $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{3} (\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{6}{5} u^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3.8

$\frac{6}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3.9

$\frac{2}{7}$ e $u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3.10

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{4}{3}) (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3.11

$- 3$ e $\frac{4}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3.12

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12}{3} (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3.13

Elimina il fattore comune di $- 12$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.3.13.1

Scomponi $3$ da $- 12$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.12.3.13.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.12.3.13.2.4

Dividi $- 4$ per $1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{6 u^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 3$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{6 {(x - 3)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{2 {(x - 3)}^{\frac{7}{2}}}{7})}{3} + C_{4}$

Passaggio 2.3.14

Riordina i termini.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{6}{5} {(x - 3)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} {(x - 3)}^{\frac{7}{2}})) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 3)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{6}{5} {(x - 3)}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{7} {(x - 3)}^{\frac{7}{2}})) + K$