Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = - 2 t y + 4 e^{- t^{2}}$ , $y (0) = 3$

Passaggio 1

Somma $2 t y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d t} + 2 t y = 4 e^{- t^{2}}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = 2 t$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 2 t d t}$

Passaggio 2.2

Integra $2 t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int t d t}$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{1 t^{2} + C}$

Passaggio 2.2.3.2.3

Moltiplica $t^{2}$ per $1$ .

$e^{t^{2} + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{t^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{t^{2}}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{t^{2}} (2 t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{t^{2}} e^{- t^{2}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $e^{t^{2}}$ per $e^{- t^{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1

Sposta $e^{- t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 (e^{- t^{2}} e^{t^{2}})$

Passaggio 3.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{- t^{2} + t^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Somma $- t^{2}$ e $t^{2}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{0}$

Passaggio 3.5

Semplifica $4 e^{0}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$

Passaggio 3.6

Riordina i fattori in $e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 t y e^{t^{2}} = 4$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] = 4$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] d t = \int 4 d t$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{t^{2}} y = \int 4 d t$

Passaggio 7

Applica la regola costante.

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{t^{2}}$ ciascun termine in $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{t^{2}}$ ciascun termine in $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ .

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{t^{2}}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Passaggio 9

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $t$ con $0$ e $y$ con $3$ in $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ .

$3 = \frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Passaggio 10

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$ .

$\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

Passaggio 10.2

Semplifica $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$ .

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Passaggio 10.2.1

Riduci le frazioni.

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Passaggio 10.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 \cdot 0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

Passaggio 10.2.1.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.2.1.2.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

Passaggio 10.2.1.2.2

Somma $0$ e $C$ .

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 10.2.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{C}{e^{0}} = 3$

Passaggio 10.2.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{C}{1} = 3$

Passaggio 10.2.3

Dividi $C$ per $1$ .

$C = 3$

Passaggio 11

Sostituisci $3$ a $C$ in $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ e semplifica.

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Passaggio 11.1

Sostituisci $3$ a $C$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{3}{e^{t^{2}}}$