Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 4 x - 7$ e $y (3) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (4 x - 7) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 4 x - 7 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 4 x - 7 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int - 7 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int - 7 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 7 d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 7 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 7 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 7 x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 2 x^{2} - 7 x + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $3$ e $y$ con $0$ in $y = 2 x^{2} - 7 x + K$ .

$0 = 2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K = 0$ .

$2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica $2 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$2 \cdot 9 - 7 \cdot 3 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$18 - 7 \cdot 3 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 7$ per $3$ .

$18 - 21 + K = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $21$ da $18$ .

$- 3 + K = 0$

Passaggio 4.3

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = 3$

Passaggio 5

Sostituisci $3$ a $K$ in $y = 2 x^{2} - 7 x + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $3$ a $K$ .

$y = 2 x^{2} - 7 x + 3$