Calcolo Esempi

$x y \frac{d y}{d x} + 3 = 0$ , $f (2) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $x y$ ciascun termine in $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $x y$ ciascun termine in $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3}{x y}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x y}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $\frac{3}{x}$ per $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{3}{x y}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{x y}$

Passaggio 1.4.3.2

Scomponi $y$ da $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

Passaggio 1.4.3.3

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

Passaggio 1.4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$y d y = - \frac{3}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - 3 \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (- 3 \ln (| x |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |)) + 2 C$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$y^{2} = - 6 \ln (| x |) + 2 C$

Passaggio 3.3

Semplifica $- 6 \ln (| x |)$ spostando $6$ all'interno del logaritmo.

$y^{2} = - \ln ({| x |}^{6}) + 2 C$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{6}) + 2 C}$

Passaggio 3.5

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{6}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = \pm \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Passaggio 3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Passaggio 3.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Passaggio 3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

Passaggio 5

Poiché $y$ è positiva nella condizione iniziale $(2, 1)$ , considera solo $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ per calcolare $C$ . Sostituisci $2$ a $x$ e $1$ a $y$ .

$1 = \sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$

Passaggio 6

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$ .

$\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$

Passaggio 6.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$ come ${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Semplifica ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 6.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{1} = 1^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

${(- \ln (64) + C)}^{1} = 1^{2}$

Passaggio 6.3.2.1.3

Semplifica.

$- \ln (64) + C = 1^{2}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- \ln (64) + C = 1$

Passaggio 6.4

Somma $\ln (64)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 1 + \ln (64)$

Passaggio 7

Sostituisci $1 + \ln (64)$ a $C$ in $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $1 + \ln (64)$ a $C$ .

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 1 + \ln (64)}$