Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x \sqrt{4 - x^{2}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = x \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = 4 - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 4 - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 2.3.1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 2.3.1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 2.3.1.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 2.3.2.2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ come $- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.7.2.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{2}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y + C_{1} = - \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

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Passaggio 2.3.7.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y + C_{1} = - \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.7.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$y + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - x^{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \frac{1}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + K$