Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{{(y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y - 1)}^{2}}{x}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Combina.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2} x}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di ${(y - 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2} x}$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = y - 1$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y - 1$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $- u^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y - 1, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Rimuovi le parentesi.

$y - 1, 1, 1$

Passaggio 3.1.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y - 1$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $y - 1$ ciascun termine in $- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$ per $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y - 1}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 = \ln (| x |) y + \ln (| x |) \cdot - 1 + C (y - 1)$

Passaggio 3.2.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\ln (| x |)$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - 1 \cdot \ln (| x |) + C (y - 1)$

Passaggio 3.2.3.1.3

Riscrivi $- 1 \ln (| x |)$ come $- \ln (| x |)$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C (y - 1)$

Passaggio 3.2.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y + C \cdot - 1$

Passaggio 3.2.3.1.5

Sposta $- 1$ alla sinistra di $C$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - 1 \cdot C$

Passaggio 3.2.3.1.6

Riscrivi $- 1 C$ come $- C$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - C$

Passaggio 3.2.3.2

Riordina i fattori in $\ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - C$ .

$- 1 = y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C = - 1$ .

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C = - 1$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) = - C y + C - 1$

Passaggio 3.3.3

Somma $C y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y = C - 1$

Passaggio 3.3.4

Somma $\ln (| x |)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y \ln (| x |) + C y = C - 1 + \ln (| x |)$

Passaggio 3.3.5

Scomponi $y$ da $y \ln (| x |) + C y$ .

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Passaggio 3.3.5.1

Scomponi $y$ da $C y$ .

$y \ln (| x |) + y C = C - 1 + \ln (| x |)$

Passaggio 3.3.5.2

Scomponi $y$ da $y \ln (| x |) + y C$ .

$y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$

Passaggio 3.3.6

Dividi per $\ln (| x |) + C$ ciascun termine in $y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.6.1

Dividi per $\ln (| x |) + C$ ciascun termine in $y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$ .

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 3.3.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (| x |) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 3.3.6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 3.3.6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{C}{\ln (| x |) + C} - \frac{1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 3.3.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{C - 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 3.3.6.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{C - 1 + \ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C + \ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$