Calcolo Esempi

$7 x - 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $7 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 7 x$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}$ ciascun termine in $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 7 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}$ ciascun termine in $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 7 x$ .

$\frac{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1.1.2.2.3

Elimina il fattore comune di $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1.1.2.2.3.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Moltiplica $\frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ per $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1.1.2.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.3.1

Moltiplica $\frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ per $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1.1.2.3.3.2

Sposta $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y (\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Passaggio 1.1.2.3.3.3

Eleva $\sqrt{x^{2} + 1}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Passaggio 1.1.2.3.3.4

Eleva $\sqrt{x^{2} + 1}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1})}$

Passaggio 1.1.2.3.3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Passaggio 1.1.2.3.3.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.3.7

Riscrivi ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ come $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.3.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x^{2} + 1}$ come ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.3.7.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 1.1.2.3.3.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.3.3.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.3.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 1.1.2.3.3.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Passaggio 1.1.2.3.3.7.5

Semplifica.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y (x^{2} + 1)}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Combina.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{8 (x^{2} + 1) y}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $y$ da $8 (x^{2} + 1) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (8 (x^{2} + 1))}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (8 (x^{2} + 1))}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{8 (x^{2} + 1)}$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $7$ per $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{7}{8}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{7}{8}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = x^{2} + 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{u}}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{7}{8}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{2 \cdot 8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.1

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.5.3.2

Moltiplica $u$ per $u^{- \frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.2.1

Moltiplica $u$ per $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.2.1.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.5.3.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.5.3.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.5.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.5.3.2.4

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.5.4

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.1

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3.5.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.5.4.2.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.5.4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $\frac{7}{16} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ come $\frac{7}{16} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

$\frac{7}{16}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7 \cdot 2}{16} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Moltiplica $7$ per $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{14}{16} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3

Elimina il fattore comune di $14$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.3.1

Scomponi $2$ da $14$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 (7)}{16} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $16$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{7}{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$