Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x y + 3 x - y - 3$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Scomponi.

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Passaggio 1.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{d y}{d x} = (x y + 3 x) - y - 3$

Passaggio 1.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{d y}{d x} = x (y + 3) - (y + 3)$

Passaggio 1.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $y + 3$ .

$\frac{d y}{d x} = (y + 3) (x - 1)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y + 3}$ .

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} ((y + 3) (x - 1))$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $y + 3$ .

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 3} ((y + 3) (x - 1))$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 3} \frac{d y}{d x} = x - 1$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y + 3} d y = (x - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y + 3} d y = \int x - 1 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Sia $u = y + 3$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y + 3$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 3$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x - 1 d x$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x - 1 d x$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + 3$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int x - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \int x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - x + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\ln (| y + 3 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y + 3 |) = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y + 3 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} - x + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y + 3 |) = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} - x + C} = | y + 3 |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y + 3 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - x + C}$ .

$| y + 3 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} - x + C}$

Passaggio 3.3.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$| y + 3 | = e^{\frac{x^{2}}{2} - x + C}$

Passaggio 3.3.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y + 3 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - x + C}$

Passaggio 3.3.4

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - x + C} - 3$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{\frac{x^{2}}{2} - x + C}$ come $e^{\frac{x^{2}}{2} - x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} - x} e^{C} - 3$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{\frac{x^{2}}{2} - x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} - x} - 3$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} - x} - 3$