Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{5 x + 1}$ , $y (3) = - 2$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \sqrt{5 x + 1} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = 5 x + 1$ . Allora $d u = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = 5 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 + 0$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Somma $5$ e $0$ .

$5$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

Passaggio 2.3.2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.3.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.1

Riscrivi $\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ come $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{5 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.6.2.2

Moltiplica $5$ per $3$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x + 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $3$ e $y$ con $- 2$ in $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ .

$- 2 = \frac{2}{15} {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(15 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Passaggio 4.2.2

Somma $15$ e $1$ .

$\frac{2}{15} \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Passaggio 4.2.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

Passaggio 4.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{3} + K = - 2$

Passaggio 4.2.6

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{2}{15} \cdot 64 + K = - 2$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $\frac{2}{15} \cdot 64$ .

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Passaggio 4.2.7.1

$\frac{2}{15}$ e $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{15} + K = - 2$

Passaggio 4.2.7.2

Moltiplica $2$ per $64$ .

$\frac{128}{15} + K = - 2$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $\frac{128}{15}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 2 - \frac{128}{15}$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{15}{15}$ .

$K = - 2 \cdot \frac{15}{15} - \frac{128}{15}$

Passaggio 4.3.3

$- 2$ e $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{- 2 \cdot 15}{15} - \frac{128}{15}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{- 2 \cdot 15 - 128}{15}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $- 2$ per $15$ .

$K = \frac{- 30 - 128}{15}$

Passaggio 4.3.5.2

Sottrai $128$ da $- 30$ .

$K = \frac{- 158}{15}$

Passaggio 4.3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$K = - \frac{158}{15}$

Passaggio 5

Sostituisci $- \frac{158}{15}$ a $K$ in $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- \frac{158}{15}$ a $K$ .

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{158}{15}$

Passaggio 5.2

$\frac{2}{15}$ e ${(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{158}{15}$

Passaggio 5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158}{15}$

Passaggio 5.4

Scomponi $2$ da $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $2$ da $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - 158}{15}$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $2$ da $- 158$ .

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79}{15}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $2$ da $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79$ .

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 79)}{15}$