Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = y^{2} e^{- 2 x}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} e^{- 2 x})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} e^{- 2 x}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (e^{- 2 x}))$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} e^{- 2 x})$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = e^{- 2 x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sia $u = - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 2.3.2.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$e^{- 2 x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{e^{- 2 x}}{2} + K$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 2, 1$

Passaggio 3.2.2

Poiché $y, 2, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 2, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{1}$ .

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.5

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 3.2.6

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.7

Il minimo comune multiplo di $1, 2, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 3.2.8

Il fattore di $y^{1}$ è $y$ stesso.

$y^{1} = y$

$y$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.2.9

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y$

Passaggio 3.2.10

Il minimo comune multiplo di $y, 2, 1$ è la parte numerica $2$ moltiplicata per la parte variabile.

$2 y$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $2 y$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = - \frac{e^{- 2 x}}{2} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = - \frac{e^{- 2 x}}{2} + K$ per $2 y$ .

$- \frac{1}{y} (2 y) = - \frac{e^{- 2 x}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} (2 y) = - \frac{e^{- 2 x}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - \frac{e^{- 2 x}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Passaggio 3.3.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - \frac{e^{- 2 x}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Passaggio 3.3.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 2 = - \frac{e^{- 2 x}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 = - \frac{e^{- 2 x}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{- 2 x}}{2}$ nel numeratore.

$- 2 = \frac{- e^{- 2 x}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Passaggio 3.3.3.1.1.2

Scomponi $2$ da $2 y$ .

$- 2 = \frac{- e^{- 2 x}}{2} (2 (y)) + K (2 y)$

Passaggio 3.3.3.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$- 2 = \frac{- e^{- 2 x}}{2} (2 y) + K (2 y)$

Passaggio 3.3.3.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 2 = - e^{- 2 x} y + K (2 y)$

Passaggio 3.3.3.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 = - e^{- 2 x} y + 2 K y$

Passaggio 3.3.3.2

Riordina i fattori in $- e^{- 2 x} y + 2 K y$ .

$- 2 = - y e^{- 2 x} + 2 K y$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $- y e^{- 2 x} + 2 K y = - 2$ .

$- y e^{- 2 x} + 2 K y = - 2$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y$ da $- y e^{- 2 x} + 2 K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $y$ da $- y e^{- 2 x}$ .

$y (- 1 e^{- 2 x}) + 2 K y = - 2$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $y$ da $2 K y$ .

$y (- 1 e^{- 2 x}) + y (2 K) = - 2$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $y$ da $y (- 1 e^{- 2 x}) + y (2 K)$ .

$y (- 1 e^{- 2 x} + 2 K) = - 2$

Passaggio 3.4.3

Riscrivi $- 1 e^{- 2 x}$ come $- e^{- 2 x}$ .

$y (- e^{- 2 x} + 2 K) = - 2$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $- e^{- 2 x} + 2 K$ ciascun termine in $y (- e^{- 2 x} + 2 K) = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $- e^{- 2 x} + 2 K$ ciascun termine in $y (- e^{- 2 x} + 2 K) = - 2$ .

$\frac{y (- e^{- 2 x} + 2 K)}{- e^{- 2 x} + 2 K} = \frac{- 2}{- e^{- 2 x} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- e^{- 2 x} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (- e^{- 2 x} + 2 K)}{- e^{- 2 x} + 2 K} = \frac{- 2}{- e^{- 2 x} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 2}{- e^{- 2 x} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{2}{- e^{- 2 x} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.2

Scomponi $- 1$ da $- e^{- 2 x}$ .

$y = - \frac{2}{- (e^{- 2 x}) + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.3

Scomponi $- 1$ da $2 K$ .

$y = - \frac{2}{- (e^{- 2 x}) - (- 2 K)}$

Passaggio 3.4.4.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (e^{- 2 x}) - (- 2 K)$ .

$y = - \frac{2}{- (e^{- 2 x} - 2 K)}$

Passaggio 3.4.4.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.5.1

Riscrivi $- (e^{- 2 x} - 2 K)$ come $- 1 (e^{- 2 x} - 2 K)$ .

$y = - \frac{2}{- 1 (e^{- 2 x} - 2 K)}$

Passaggio 3.4.4.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - - \frac{2}{e^{- 2 x} - 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = 1 \frac{2}{e^{- 2 x} - 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.5.4

Moltiplica $\frac{2}{e^{- 2 x} - 2 K}$ per $1$ .

$y = \frac{2}{e^{- 2 x} - 2 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{2}{e^{- 2 x} + K}$