Calcolo Esempi

$2 x y^{3} d x + 3 x^{2} y^{2} d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $2 x y^{3} d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} y^{2} d y = - 2 x y^{3} d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} (3 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

Passaggio 3.2

$3$ e $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{3}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x^{2} y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x^{2} y^{2}$ da $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{3}{x^{2} y^{2} (y)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{x^{2} y^{2} y} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 2 x y^{3}) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{3}{y} d y = - 2 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Passaggio 3.5

$- 2$ e $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di $x y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Scomponi $x y^{3}$ da $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x y^{3} (x)} (x y^{3}) d x$

Passaggio 3.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x y^{3} x} (x y^{3}) d x$

Passaggio 3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{y} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{3}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$3 \ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica $3 \ln (| y |) + 2 \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Semplifica $3 \ln (| y |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) + 2 \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2.1.1.2

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Passaggio 5.2.1.1.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln ({| y |}^{3}) + \ln (x^{2}) = C$

Passaggio 5.2.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| y |}^{3} x^{2}) = C$

Passaggio 5.2.1.3

Riordina i fattori in $\ln ({| y |}^{3} x^{2})$ .

$\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$

Passaggio 5.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x^{2} {| y |}^{3})} = e^{C}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\ln (x^{2} {| y |}^{3}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{2} {| y |}^{3}$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ .

$x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} {| y |}^{3} = e^{C}$ .

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} {| y |}^{3}}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Dividi ${| y |}^{3}$ per $1$ .

${| y |}^{3} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$| y | = \sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$

Passaggio 5.5.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{e^{C}}{x^{2}}}$ come $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Passaggio 5.5.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.3.2

Eleva $\sqrt[3]{x^{2}}$ alla potenza di $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.3.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

Passaggio 5.5.4.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

Passaggio 5.5.4.3.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ come $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Passaggio 5.5.4.3.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 5.5.4.3.5.3

$\frac{2}{3}$ e $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Passaggio 5.5.4.3.5.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

Passaggio 5.5.4.3.5.5

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.3.5.5.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Passaggio 5.5.4.3.5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.3.5.5.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Passaggio 5.5.4.3.5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Passaggio 5.5.4.3.5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Passaggio 5.5.4.3.5.5.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.4.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ come $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.4.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.4.3

Metti in evidenza $x^{3}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.4.4

Estrai i termini dal radicale.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.4.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.5.1

Elimina il fattore comune di $x$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.5.1.1

Scomponi $x$ da $x \sqrt[3]{e^{C} x}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x^{2}}$

Passaggio 5.5.4.5.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.5.1.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

Passaggio 5.5.4.5.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$| y | = \frac{x \sqrt[3]{e^{C} x}}{x \cdot x}$

Passaggio 5.5.4.5.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$| y | = \frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$

Passaggio 5.5.4.5.2

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{e^{C} x}}{x}$ .

$| y | = \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

Passaggio 5.5.5

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{C}}}{x}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \frac{\sqrt[3]{x C}}{x}$