Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - y (6 x - 1) = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d y}{d x} - y (6 x) - y \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.1.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x - y \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.1.1.3

Moltiplica $- y \cdot - 1$ .

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Passaggio 1.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x + 1 y = 0$

Passaggio 1.1.1.3.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \cdot 6 y x + y = 0$

Passaggio 1.1.1.4

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{d y}{d x} - 6 y x + y = 0$

Passaggio 1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d y}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.1.2.1

Somma $6 y x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} + y = 6 y x$

Passaggio 1.1.2.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = 6 y x - y$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $6 y x - y$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $y$ da $6 y x$ .

$\frac{d y}{d x} = y (6 x) - y$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (6 x) + y \cdot - 1$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $y$ da $y (6 x) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (6 x - 1)$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (6 x - 1))$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (6 x - 1))$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 x - 1$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = (6 x - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 6 x - 1 d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 6 x - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 6 x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 3 x^{2} - x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = 3 x^{2} - x + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{3 x^{2} - x + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = 3 x^{2} - x + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 x^{2} - x + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{3 x^{2} - x + C}$ .

$| y | = e^{3 x^{2} - x + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{3 x^{2} - x + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{3 x^{2} - x + C}$ come $e^{3 x^{2} - x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{3 x^{2} - x} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{3 x^{2} - x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{3 x^{2} - x}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{3 x^{2} - x}$