Calcolo Esempi

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

Passaggio 2.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y \ln (\frac{x}{y})$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = \ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = \frac{x}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.5.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.6

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.7

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.8

$\frac{y}{x}$ e $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.9

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.10

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.12

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.13

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x}{y}$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.14

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

$x$ e $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.14.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.14.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.14.3

Riscrivi $\frac{1}{y}$ come $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.16

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1

Sposta $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.16.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.16.3

Somma $- 2$ e $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.17

Semplifica $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.18

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

Passaggio 2.19

Moltiplica $\ln (\frac{x}{y})$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

Passaggio 2.20

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.20.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Passaggio 2.20.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $1 - \ln (\frac{x}{y})$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $1 - \ln (\frac{x}{y})$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $- y (\ln (x) - \ln (y))$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $- y (\ln (x) - \ln (y))$ a $M$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Passaggio 5.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Passaggio 5.3.2.3

Moltiplica $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Moltiplica $\ln (\frac{x}{y})$ per $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Passaggio 5.3.2.4

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Passaggio 5.3.2.5

Somma $0$ e $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Passaggio 5.3.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $\ln (\frac{x}{y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Passaggio 5.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- y}$

Passaggio 5.3.5

Sostituisci $- y (\ln (x) - \ln (y))$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

Passaggio 5.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{y}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 6.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Passaggio 6.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica $- \ln (| y |)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Passaggio 6.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Passaggio 6.4.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- y (\ln (x) - \ln (y))$ per $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $y$ da $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Passaggio 7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Passaggio 7.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Passaggio 7.4

Riscrivi $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ come $- \ln (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Passaggio 7.5

Moltiplica $x$ per $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

Passaggio 7.6

$x$ e $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = \frac{x}{y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , sposta $x$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 9.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

Passaggio 9.3

Semplifica.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Passaggio 12

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (| y |) + g (x)] = - \ln (\frac{x}{y})$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Riscrivi.

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

Passaggio 13.1.2

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Sottrai $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

Passaggio 13.1.2.2

Riscrivi.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Passaggio 13.1.3

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

Passaggio 13.1.3.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

Passaggio 13.1.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y \ln (\frac{x}{y})$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

Passaggio 13.1.3.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = \ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.5

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = \frac{x}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.5.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.5.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.5.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.6

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.7

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.8

$\frac{y}{x}$ e $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.9

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.10

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.12

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.13

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{x}{y}$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.14

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.14.1

$x$ e $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.14.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.14.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.14.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.14.3

Riscrivi $\frac{1}{y}$ come $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.15

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.16

Moltiplica $y^{2}$ per $y^{- 2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.16.1

Sposta $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.16.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.16.3

Somma $- 2$ e $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.17

Semplifica $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 13.1.3.18

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

Passaggio 13.1.3.19

Moltiplica $\ln (\frac{x}{y})$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

Passaggio 13.1.3.20

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.20.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Passaggio 13.1.3.20.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Passaggio 13.1.4

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 13.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Passaggio 13.1.5

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.1

Sostituisci $1 - \ln (\frac{x}{y})$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

Passaggio 13.1.5.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ non è un'identità.

Passaggio 13.1.6

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.6.1

Sostituisci $1$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Passaggio 13.1.6.2

Sostituisci $1 - \ln (\frac{x}{y})$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

Passaggio 13.1.6.3

Sostituisci $- y (\ln (x) - \ln (y))$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.6.3.1

Sostituisci $- y (\ln (x) - \ln (y))$ a $M$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Passaggio 13.1.6.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.6.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Passaggio 13.1.6.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Passaggio 13.1.6.3.2.3

Moltiplica $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.6.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Passaggio 13.1.6.3.2.3.2

Moltiplica $\ln (\frac{x}{y})$ per $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Passaggio 13.1.6.3.2.4

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Passaggio 13.1.6.3.2.5

Somma $0$ e $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Passaggio 13.1.6.3.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Passaggio 13.1.6.3.4

Elimina il fattore comune di $\ln (\frac{x}{y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.6.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Passaggio 13.1.6.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{- y}$

Passaggio 13.1.6.3.5

Sostituisci $- y (\ln (x) - \ln (y))$ a $M$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.6.3.5.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

Passaggio 13.1.6.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{y}$

Passaggio 13.1.6.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 13.1.7

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Passaggio 13.1.7.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Passaggio 13.1.7.3

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Passaggio 13.1.7.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.7.4.1

Semplifica $- \ln (| y |)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Passaggio 13.1.7.4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Passaggio 13.1.7.4.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Passaggio 13.1.8

Moltiplica entrambi i lati di $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.8.1

Moltiplica $- y (\ln (x) - \ln (y))$ per $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Passaggio 13.1.8.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.8.2.1

Scomponi $y$ da $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Passaggio 13.1.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Passaggio 13.1.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Passaggio 13.1.8.3

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Passaggio 13.1.8.4

Riscrivi $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ come $- \ln (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Passaggio 13.1.8.5

Moltiplica $x$ per $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

Passaggio 13.1.8.6

$x$ e $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

Passaggio 13.1.9

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

Passaggio 13.1.10

Integra $N (x, y) = \frac{x}{y}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.10.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , sposta $x$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

Passaggio 13.1.10.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

Passaggio 13.1.10.3

Semplifica.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

Passaggio 13.1.11

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

Passaggio 13.1.12

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Passaggio 13.1.13

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.13.1

Semplifica $\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.13.1.1

Elimina il fattore comune di $d$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.13.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

Passaggio 13.1.13.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

Passaggio 13.1.13.1.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $x \ln (| y |) + g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Passaggio 13.1.13.1.3

Scomponi $x$ da $x \ln (| y |) + g x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.13.1.3.1

Scomponi $x$ da $x \ln (| y |)$ .

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Passaggio 13.1.13.1.3.2

Scomponi $x$ da $g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + x g}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Passaggio 13.1.13.1.3.3

Scomponi $x$ da $x \ln (| y |) + x g$ .

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Passaggio 13.1.13.1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.13.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Passaggio 13.1.13.1.4.2

Dividi $\ln (| y |) + g$ per $1$ .

$\ln (| y |) + g = - \ln (\frac{x}{y})$

Passaggio 13.1.14

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) + \ln (\frac{x}{y}) = - g$

Passaggio 13.1.15

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | (\frac{x}{y})) = - g$

Passaggio 13.1.16

$| y |$ e $\frac{x}{y}$ .

$\ln (\frac{| y | x}{y}) = - g$

Passaggio 13.1.17

Riordina i fattori in $\ln (\frac{| y | x}{y})$ .

$\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $- g$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$ .

$\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x = \int - g d x$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x$ .

$g (x) = \int - g d x$

Passaggio 14.3

Applica la regola costante.

$g (x) = - g x + C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) - g x + C$