Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 9} = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x^{2} - 3^{2}} = 0$

Passaggio 1.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)} = 0$

Passaggio 1.1.2

Sottrai $\frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x y}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y)$

Passaggio 1.4.2.2

Scomponi $y$ da $\frac{x}{(x + 3) (x - 3)} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

Passaggio 1.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{x}{(x + 3) (x - 3)})$

Passaggio 1.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{(x + 3) (x - 3)} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = (x + 3) (x - 3)$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = (x + 3) (x - 3)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x - 3)]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + 3$ e $g (x) = x - 3$ .

$(x + 3) \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x + 3) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 2.3.2.1.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$(x + 3) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 2.3.2.1.3.4.2

Moltiplica $x + 3$ per $1$ .

$x + 3 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 2.3.2.1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$x + 3 + (x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.3.2.1.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Passaggio 2.3.2.1.3.7

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x + 3 + (x - 3) (1 + 0)$

Passaggio 2.3.2.1.3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$x + 3 + (x - 3) \cdot 1$

Passaggio 2.3.2.1.3.8.2

Moltiplica $x - 3$ per $1$ .

$x + 3 + x - 3$

Passaggio 2.3.2.1.3.8.3

Somma $x$ e $x$ .

$2 x + 3 - 3$

Passaggio 2.3.2.1.3.8.4

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.8.4.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.3.2.1.3.8.4.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(x + 3) (x - 3)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| (x + 3) (x - 3) |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

$\ln (| (x + 3) (x - 3) |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} + C$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| (x + 3) (x - 3) |)}{2} = C$

Passaggio 3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Espandi $(x + 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x (x - 3) + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3) |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 3$ e $3 x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 3 x$ e $3 x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.2.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x \cdot x + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 3 \cdot - 3 |)}{2} = C$

Passaggio 3.3.3.2

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Passaggio 3.4

Per scrivere $\ln (| y |)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Passaggio 3.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

$\ln (| y |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Passaggio 3.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Passaggio 3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Passaggio 3.7

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| y |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Passaggio 3.7.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Passaggio 3.7.1.1.3

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2} = C$

Passaggio 3.7.1.2

Riscrivi $\frac{\ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)}{2}$ come $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |) = C$

Passaggio 3.7.1.3

Semplifica $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} - 9 |)$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(y^{2} | x^{2} - 9 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 3.7.1.4

Applica la regola del prodotto a $y^{2} | x^{2} - 9 |$ .

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 3.7.1.5

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 3.7.1.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 3.7.1.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (y^{1} {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 3.7.1.6

Semplifica.

$\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Passaggio 3.8

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Passaggio 3.9

Riscrivi $\ln (y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.10

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.1

Riscrivi l'equazione come $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Passaggio 3.10.2

Dividi per ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.1

Dividi per ${| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}$ ciascun termine in $y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.10.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.10.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y {| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.10.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{C}{{| x^{2} - 9 |}^{\frac{1}{2}}}$