Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ , $y (1) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} + 2 y = 4 x^{2}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x^{2}}{x}$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $x$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x}$

Passaggio 1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x^{1}}$

Passaggio 1.3.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x (4 x)}{x \cdot 1}$

Passaggio 1.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{4 x}{1}$

Passaggio 1.3.2.5

Dividi $4 x$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = 4 x$

Passaggio 1.4

Scomponi $y$ da $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = 4 x$

Passaggio 1.5

Riordina $y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 4 x$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{2}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (4 x)$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{2}{x}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (4 x)$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (4 x)$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (4 x)$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{2} x$

Passaggio 3.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x \cdot x^{2})$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 (x^{1} x^{2})$

Passaggio 3.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{1 + 2}$

Passaggio 3.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 4 x^{3}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 4 x^{3}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 4 x^{3} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x^{2} y = \int 4 x^{3} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$x^{2} y = 4 \int x^{3} d x$

Passaggio 7.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Passaggio 7.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Riscrivi $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ come $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$x^{2} y = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Passaggio 7.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Passaggio 7.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} y = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Passaggio 7.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} y = 1 x^{4} + C$

Passaggio 7.3.2.3

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$x^{2} y = x^{4} + C$

Passaggio 8

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = x^{4} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = x^{4} + C$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $x^{4}$ .

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{2} x^{2}}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3.1.2.4

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 9

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $0$ in $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$0 = 1^{2} + \frac{C}{1^{2}}$

Passaggio 10

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$ .

$1^{2} + \frac{C}{1^{2}} = 0$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + \frac{C}{1^{2}} = 0$

Passaggio 10.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$1 + \frac{C}{1} = 0$

Passaggio 10.2.3

Dividi $C$ per $1$ .

$1 + C = 0$

Passaggio 10.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = - 1$

Passaggio 11

Sostituisci $- 1$ a $C$ in $y = x^{2} + \frac{C}{x^{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci $- 1$ a $C$ .

$y = x^{2} + \frac{- 1}{x^{2}}$

Passaggio 11.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = x^{2} - \frac{1}{x^{2}}$