Calcolo Esempi

$(y \cos (x) + 2 x e^{y}) d x + (\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1) d y = 0$

Passaggio 1

Trova

$\frac{\partial M}{\partial y}$ dove

$M (x, y) = y \cos (x) + 2 x e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia

$M$ rispetto a

$y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x) + 2 x e^{y}]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

$y \cos (x) + 2 x e^{y}$ rispetto a

$y$ è

$\frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Passaggio 1.3

Calcola

$\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché

$\cos (x)$ è costante rispetto a

$y$ , la derivata di

$y \cos (x)$ rispetto a

$y$ è

$\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è

$n y^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica

$\cos (x)$ per

$1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Passaggio 1.4

Calcola

$\frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché

$2 x$ è costante rispetto a

$y$ , la derivata di

$2 x e^{y}$ rispetto a

$y$ è

$2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui

$\frac{d}{d y} [a^{y}]$ è

$a^{y} \ln (a)$ dove

$a$ =

$e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

Passaggio 1.5.2

Riordina i fattori in

$2 e^{y} x + \cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Passaggio 2

Trova

$\frac{\partial N}{\partial x}$ dove

$N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia

$N$ rispetto a

$x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

$\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3

La derivata di

$\sin (x)$ rispetto a

$x$ è

$\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4

Calcola

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché

$e^{y}$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$x^{2} e^{y}$ rispetto a

$x$ è

$e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4.3

Sposta

$2$ alla sinistra di

$e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.5

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- 1$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + 0$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma

$\cos (x) + 2 e^{y} x$ e

$0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x$

Passaggio 2.6.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

Passaggio 2.6.3

Riordina i fattori in

$2 e^{y} x + \cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Passaggio 3

Verifica che

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci

$2 x e^{y} + \cos (x)$ a

$\frac{\partial M}{\partial y}$ e

$2 x e^{y} + \cos (x)$ a

$\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta

$f (x, y)$ uguale all'integrale di

$N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1 d y$

Passaggio 5

Integra

$N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ per trovare

$f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int \sin (x) d y + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

Passaggio 5.2

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

Passaggio 5.3

Poiché

$x^{2}$ è costante rispetto a

$y$ , sposta

$x^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} \int e^{y} d y + \int - 1 d y$

Passaggio 5.4

L'integrale di

$e^{y}$ rispetto a

$y$ è

$e^{y}$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) + \int - 1 d y$

Passaggio 5.5

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) - y + C$

Passaggio 5.6

Semplifica.

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di

$g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire

$C$ con

$g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$

Passaggio 7

Imposta

$\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8

Trova

$\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia

$f$ rispetto a

$x$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

$\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ rispetto a

$x$ è

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.3

Calcola

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché

$y$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$\sin (x) y$ rispetto a

$x$ è

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.3.2

La derivata di

$\sin (x)$ rispetto a

$x$ è

$\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.4

Calcola

$\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Poiché

$e^{y}$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$x^{2} e^{y}$ rispetto a

$x$ è

$e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è

$n x^{n - 1}$ dove

$n = 2$ .

$y \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.4.3

Sposta

$2$ alla sinistra di

$e^{y}$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.5

Poiché

$- y$ è costante rispetto a

$x$ , la derivata di

$- y$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.6

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di

$g (x)$ è

$\frac{d g}{d x}$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Somma

$y \cos (x) + 2 e^{y} x$ e

$0$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.7.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.7.3

Riordina i fattori in

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 9

Risolvi per

$\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti

$\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai

$y \cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x)$

Passaggio 9.1.2

Sottrai

$2 x e^{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$

Passaggio 9.1.3

Combina i termini opposti in

$y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Sottrai

$y \cos (x)$ da

$y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + 0 - 2 x e^{y}$

Passaggio 9.1.3.2

Somma

$2 x e^{y}$ e

$0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} - 2 x e^{y}$

Passaggio 9.1.3.3

Sottrai

$2 x e^{y}$ da

$2 x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di

$0$ per trovare

$g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di

$\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Passaggio 10.2

Calcola

$\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Passaggio 10.3

L'integrale di

$0$ rispetto a

$x$ è

$0$ .

$g (x) = 0 + C$

Passaggio 10.4

Somma

$0$ e

$C$ .

$g (x) = C$

Passaggio 11

Sostituisci a

$g (x)$ in

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

Passaggio 12

Riordina i fattori in

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$ .

$f (x, y) = y \sin (x) + x^{2} e^{y} - y + C$