Calcolo Esempi

$(y \cos (x) + 2 x e^{y}) d x + (\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y \cos (x) + 2 x e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x) + 2 x e^{y}]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y \cos (x) + 2 x e^{y}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $\cos (x)$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y \cos (x)$ rispetto a $y$ è $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + \frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x e^{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x e^{y}$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x \frac{d}{d y} [e^{y}]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ è $a^{y} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riordina i termini.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

Passaggio 1.5.2

Riordina i fattori in $2 e^{y} x + \cos (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $e^{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} e^{y}$ rispetto a $x$ è $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x + 0$

Passaggio 2.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Somma $\cos (x) + 2 e^{y} x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x) + 2 e^{y} x$

Passaggio 2.6.2

Riordina i termini.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{y} x + \cos (x)$

Passaggio 2.6.3

Riordina i fattori in $2 e^{y} x + \cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x e^{y} + \cos (x)$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x e^{y} + \cos (x)$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 x e^{y} + \cos (x) = 2 x e^{y} + \cos (x)$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1 d y$

Passaggio 5

Integra $N (x, y) = \sin (x) + x^{2} e^{y} - 1$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int \sin (x) d y + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

Passaggio 5.2

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + \int x^{2} e^{y} d y + \int - 1 d y$

Passaggio 5.3

Poiché $x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $x^{2}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} \int e^{y} d y + \int - 1 d y$

Passaggio 5.4

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) + \int - 1 d y$

Passaggio 5.5

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \sin (x) y + C + x^{2} (e^{y} + C) - y + C$

Passaggio 5.6

Semplifica.

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\sin (x) y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.4

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Poiché $e^{y}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{2} e^{y}$ rispetto a $x$ è $e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \cos (x) + e^{y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$y \cos (x) + e^{y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{y}$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.5

Poiché $- y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.6

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + 0 + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Somma $y \cos (x) + 2 e^{y} x$ e $0$ .

$y \cos (x) + 2 e^{y} x + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.7.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 8.7.3

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 e^{y} x$ .

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y}$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $y \cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + 2 x e^{y} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x)$

Passaggio 9.1.2

Sottrai $2 x e^{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$

Passaggio 9.1.3

Combina i termini opposti in $y \cos (x) + 2 x e^{y} - y \cos (x) - 2 x e^{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Sottrai $y \cos (x)$ da $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} + 0 - 2 x e^{y}$

Passaggio 9.1.3.2

Somma $2 x e^{y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x e^{y} - 2 x e^{y}$

Passaggio 9.1.3.3

Sottrai $2 x e^{y}$ da $2 x e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Passaggio 10.3

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Passaggio 10.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + g (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$

Passaggio 12

Riordina i fattori in $f (x, y) = \sin (x) y + x^{2} e^{y} - y + C$ .

$f (x, y) = y \sin (x) + x^{2} e^{y} - y + C$