Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9 y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{4 x}{9 y})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{4 x}{9 y}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{9 y}$

Passaggio 1.2.2.2

Scomponi $y$ da $9 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{y \cdot 9}$

Passaggio 1.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{4 x}{y \cdot 9}$

Passaggio 1.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = - \frac{4 x}{9} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int - \frac{4 x}{9} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{4 x}{9} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{4 x}{9} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{4}{9}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{4}{9}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{4}{9} \int x d x)$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $- \frac{4}{9} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $- \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{4}{9}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Moltiplica $2$ per $9$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{4}{18} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 (2)}{18} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 9} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{9} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{2}{9} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (- \frac{2}{9} x^{2} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

$x^{2}$ e $\frac{2}{9}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2} \cdot 2}{9} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Moltiplica $2 (- \frac{2 x^{2}}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{2 x^{2}}{9} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

$- 2$ e $\frac{2 x^{2}}{9}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 (2 x^{2})}{9} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y^{2} = \frac{- 4 x^{2}}{9} + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $- \frac{4 x^{2}}{9} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $2$ da $- \frac{4 x^{2}}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 (- \frac{2 x^{2}}{9}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K)}$

Passaggio 3.4.2

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + K \cdot \frac{9}{9})}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

$K$ e $\frac{9}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2 x^{2}}{9} + \frac{K \cdot 9}{9})}$

Passaggio 3.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 x^{2} + K \cdot 9}{9}}$

Passaggio 3.4.4

Sposta $9$ alla sinistra di $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 x^{2} + 9 K}{9}}$

Passaggio 3.4.5

$2$ e $\frac{- 2 x^{2} + 9 K}{9}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}{9}}$

Passaggio 3.4.6

Riscrivi $\frac{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}{9}$ come ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $2 (- 2 x^{2} + 9 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{9}}$

Passaggio 3.4.6.2

Scomponi la potenza perfetta $3^{2}$ su $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 3.4.6.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (- 2 x^{2} + 9 K))}$

Passaggio 3.4.7

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}$

Passaggio 3.4.8

$\frac{1}{3}$ e $\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + 9 K)}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 2 x^{2} + K)}}{3}$