Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} + y$ , $y (0) = 0$

Passaggio 1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - y = - x^{2}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 1 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{- x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (- x^{2})$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (- x^{2})$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = - e^{- x} x^{2}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = - x^{2} e^{- x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = - x^{2} e^{- x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int - x^{2} e^{- x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{- x} y = \int - x^{2} e^{- x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} y = - \int x^{2} e^{- x} d x$

Passaggio 7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x)$

Passaggio 7.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x)$

Passaggio 7.4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x))$

Passaggio 7.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x)$

Passaggio 7.6

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x))$

Passaggio 7.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x))$

Passaggio 7.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x))$

Passaggio 7.8.2

Moltiplica $\int e^{- x} d x$ per $1$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x))$

Passaggio 7.9

Sia $u = - x$ . Allora $d u = - d x$ , quindi $- d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.1

Sia $u = - x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.1.1

Differenzia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 7.9.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 7.9.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 7.9.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u))$

Passaggio 7.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u))$

Passaggio 7.11

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{- x} y = - (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$

Passaggio 7.12

Riscrivi $- (x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C)))$ come $- (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$ .

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{u}) + C$

Passaggio 7.13

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}) + C$

Passaggio 7.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- x} y = - (- x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Passaggio 7.14.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.14.2.1

Moltiplica $- (- x^{2} e^{- x})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.14.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e^{- x} y = 1 (x^{2} e^{- x}) - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Passaggio 7.14.2.1.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} - (- 2 x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Passaggio 7.14.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) - (- 2 e^{- x}) + C$

Passaggio 7.14.2.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 (x e^{- x}) + 2 e^{- x} + C$

$e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{- x}$ ciascun termine in $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $e^{- x}$ ciascun termine in $e^{- x} y = x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + C$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{2} e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = x^{2} + \frac{2 x e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Dividi $2 x$ per $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.1.3

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$y = x^{2} + 2 x + \frac{2 e^{- x}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 8.3.1.3.2

Dividi $2$ per $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 9

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $0$ in $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ .

$0 = 0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$

Passaggio 10

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$ .

$0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Passaggio 10.2

Semplifica $0^{2} + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 2 \cdot 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Passaggio 10.2.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{e^{0}} = 0$

Passaggio 10.2.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 0 + 2 + \frac{C}{1} = 0$

Passaggio 10.2.1.4

Dividi $C$ per $1$ .

$0 + 0 + 2 + C = 0$

Passaggio 10.2.2

Combina i termini opposti in $0 + 0 + 2 + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 2 + C = 0$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$2 + C = 0$

Passaggio 10.3

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = - 2$

Passaggio 11

Sostituisci $- 2$ a $C$ in $y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{C}{e^{- x}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci $- 2$ a $C$ .

$y = x^{2} + 2 x + 2 + \frac{- 2}{e^{- x}}$

Passaggio 11.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = x^{2} + 2 x + 2 - \frac{2}{e^{- x}}$