Calcolo Esempi

$3 \frac{d y}{d x} = (4 x^{3} - 1) y^{4}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} ((4 x^{3} - 1) y^{4})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y^{4}$ da $(4 x^{3} - 1) y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} (4 x^{3} - 1))$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} (4 x^{3} - 1))$

Passaggio 1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{4}} (3 \frac{d y}{d x}) = 4 x^{3} - 1$

Passaggio 1.3

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\frac{1}{y^{4}} \cdot 3 \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 1$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{4}} \cdot 3 d y = (4 x^{3} - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{4}} \cdot 3 d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

$\frac{1}{y^{4}}$ e $3$ .

$\int \frac{3}{y^{4}} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{1}{y^{4}} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.2.3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sposta $y^{4}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$3 \int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.2.3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int y^{4 \cdot - 1} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$3 \int y^{- 4} d y = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.2.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 4}$ rispetto a $y$ è $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$3 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.1

$y^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$3 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.2.5.1.2

Sposta $y^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1}) = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.2.5.2

Semplifica.

$3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.2.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.2.5.3.2

$- 3$ e $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$\frac{- 3}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.2.5.3.3

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.3.1

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.2.5.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 y^{3}$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (y^{3})} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.2.5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.2.5.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.2.5.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = 4 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$- \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = x^{4} - x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y^{3}, 1, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y^{3}$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $y^{3}$ ciascun termine in $- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y^{3}} = x^{4} - x + K$ per $y^{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y^{3}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y^{3}} y^{3} = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$ .

$x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y^{3}$ da $x^{4} y^{3} - x y^{3} + K y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $y^{3}$ da $x^{4} y^{3}$ .

$y^{3} x^{4} - x y^{3} + K y^{3} = - 1$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $y^{3}$ da $- x y^{3}$ .

$y^{3} x^{4} + y^{3} (- x) + K y^{3} = - 1$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi $y^{3}$ da $K y^{3}$ .

$y^{3} x^{4} + y^{3} (- x) + y^{3} K = - 1$

Passaggio 3.3.2.4

Scomponi $y^{3}$ da $y^{3} x^{4} + y^{3} (- x)$ .

$y^{3} (x^{4} - x) + y^{3} K = - 1$

Passaggio 3.3.2.5

Scomponi $y^{3}$ da $y^{3} (x^{4} - x) + y^{3} K$ .

$y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $x^{4} - x + K$ ciascun termine in $y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $x^{4} - x + K$ ciascun termine in $y^{3} (x^{4} - x + K) = - 1$ .

$\frac{y^{3} (x^{4} - x + K)}{x^{4} - x + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{4} - x + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{3} (x^{4} - x + K)}{x^{4} - x + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $y^{3}$ per $1$ .

$y^{3} = \frac{- 1}{x^{4} - x + K}$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{3} = - \frac{1}{x^{4} - x + K}$

Passaggio 3.3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{- \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica $\sqrt[3]{- \frac{1}{x^{4} - x + K}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Riscrivi $- \frac{1}{x^{4} - x + K}$ come ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Passaggio 3.3.5.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Passaggio 3.3.5.2

Estrai i termini dal radicale.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Passaggio 3.3.5.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$

Passaggio 3.3.5.4

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{1}{x^{4} - x + K}}$ come $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$

Passaggio 3.3.5.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$y = - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$

Passaggio 3.3.5.6

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}})$

Passaggio 3.3.5.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.7.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{4} - x + K} {\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.7.2

Eleva $\sqrt[3]{x^{4} - x + K}$ alla potenza di $1$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{1} {\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.3.5.7.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{3}}$

Passaggio 3.3.5.7.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{3}$ come $x^{4} - x + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x^{4} - x + K}$ come ${(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{({(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.3.5.7.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.3.5.7.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.3.5.7.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.7.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.3.5.7.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{{(x^{4} - x + K)}^{1}}$

Passaggio 3.3.5.7.5.5

Semplifica.

$y = - \frac{{\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}}{x^{4} - x + K}$

Passaggio 3.3.5.8

Riscrivi ${\sqrt[3]{x^{4} - x + K}}^{2}$ come $\sqrt[3]{{(x^{4} - x + K)}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{{(x^{4} - x + K)}^{2}}}{x^{4} - x + K}$