Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 + 20 x}{x y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 + 20 x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (\frac{9 + 20 x}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{9 + 20 x}{x}$ per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{9 + 20 x}{x y^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{9 + 20 x}{y^{2} x}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{9 + 20 x}{y^{2} x}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{9 + 20 x}{x}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = \frac{9 + 20 x}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int \frac{9 + 20 x}{x} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9 + 20 x}{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9}{x} + \frac{20 x}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9}{x} d x + \int \frac{20 x}{x} d x$

Passaggio 2.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9}{x} d x + \int \frac{20 x}{x} d x$

Passaggio 2.3.3.2

Dividi $20$ per $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{9}{x} d x + \int 20 d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 9 \int \frac{1}{x} d x + \int 20 d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 9 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int 20 d x$

Passaggio 2.3.6

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 9 (\ln (| x |) + C_{2}) + 20 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 9 \ln (| x |) + 20 x + C_{4}$

Passaggio 2.3.8

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = 20 x + 9 \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = 20 x + 9 \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (20 x + 9 \ln (| x |) + C)$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 (20 x) + 3 (9 \ln (| x |)) + 3 C$

Passaggio 3.2.2.1.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.2.1.2.1

Moltiplica $20$ per $3$ .

$y^{3} = 60 x + 3 (9 \ln (| x |)) + 3 C$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Moltiplica $9$ per $3$ .

$y^{3} = 60 x + 27 \ln (| x |) + 3 C$

Passaggio 3.3

Semplifica $27 \ln (| x |)$ spostando $27$ all'interno del logaritmo.

$y^{3} = 60 x + \ln ({| x |}^{27}) + 3 C$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{60 x + \ln ({| x |}^{27}) + 3 C}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt[3]{60 x + \ln ({| x |}^{27}) + C}$