Calcolo Esempi

$2 (y + 3) d x - x (y d) y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $2 (y + 3) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x y d y = - 2 (y + 3) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x (y + 3)}$ .

$\frac{1}{x (y + 3)} (- x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x (y + 3)}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Passaggio 3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{x (y + 3)} (x y) d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Passaggio 3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{y + 3} y d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Passaggio 3.3

$\frac{- 1}{y + 3}$ e $y$ .

$\frac{- y}{y + 3} d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Passaggio 3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{1}{x (y + 3)} (- 2 (y + 3)) d x$

Passaggio 3.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{y}{y + 3} d y = - 2 \frac{1}{x (y + 3)} (y + 3) d x$

Passaggio 3.6

$- 2$ e $\frac{1}{x (y + 3)}$ .

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{x (y + 3)} (y + 3) d x$

Passaggio 3.7

Elimina il fattore comune di $y + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Scomponi $y + 3$ da $x (y + 3)$ .

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{(y + 3) x} (y + 3) d x$

Passaggio 3.7.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{(y + 3) x} (y + 3) d x$

Passaggio 3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{y}{y + 3} d y = \frac{- 2}{x} d x$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{y}{y + 3} d y = - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int - \frac{y}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{y}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

Dividi $y$ per $y + 3$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$3$

$y$

$0$

Passaggio 4.2.2.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

					$1$
	$y$	+	$3$		$y$	+	$0$

Passaggio 4.2.2.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$3$

Passaggio 4.2.2.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y + 3$

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$3$

Passaggio 4.2.2.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$y$	+	$3$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$3$
					-	$3$

Passaggio 4.2.2.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- \int 1 - \frac{3}{y + 3} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- (\int d y + \int - \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2.4

Applica la regola costante.

$- (y + C_{1} + \int - \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- (y + C_{1} - \int \frac{3}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2.6

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$- (y + C_{1} - (3 \int \frac{1}{y + 3} d y)) = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{y + 3} d y) = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2.8

Sia $u = y + 3$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 4.2.8.1

Sia $u = y + 3$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 4.2.8.1.1

Differenzia $y + 3$ .

$\frac{d}{d y} [y + 3]$

Passaggio 4.2.8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 3$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 4.2.8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [3]$

Passaggio 4.2.8.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.2.8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2.8.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$- (y + C_{1} - 3 \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2.9

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- (y + C_{1} - 3 (\ln (| u |) + C_{2})) = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2.10

Semplifica.

$- (y - 3 \ln (| u |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + 3$ .

$- (y - 3 \ln (| y + 3 |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2.12

Semplifica.

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Passaggio 4.2.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$- y - (- 3 \ln (| y + 3 |)) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2.12.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 (\ln (| x |) + C_{4})$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) + C_{3} = - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- y + 3 \ln (| y + 3 |) = - 2 \ln (| x |) + C$