Calcolo Esempi

$\frac{d s}{d t} = 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3}$ , $s (1) = 5$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d s = 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d s = \int 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$s + C_{1} = \int 28 t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $28$ è costante rispetto a $t$ , sposta $28$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 28 \int t {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 7 t^{2} - 5$ . Allora $d u = 14 t d t$ , quindi $\frac{1}{14} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 7 t^{2} - 5$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $7 t^{2} - 5$ .

$\frac{d}{d t} [7 t^{2} - 5]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 t^{2} - 5$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{d}{d t} [7 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [7 t^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $7 t^{2}$ rispetto a $t$ è $7 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$7 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $7$ .

$14 t + \frac{d}{d t} [- 5]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $t$ è $0$ .

$14 t + 0$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Somma $14 t$ e $0$ .

$14 t$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$s + C_{1} = 28 \int u^{3} \frac{1}{14} d u$

Passaggio 2.3.3

$u^{3}$ e $\frac{1}{14}$ .

$s + C_{1} = 28 \int \frac{u^{3}}{14} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{14}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{14}$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 28 (\frac{1}{14} \int u^{3} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{14}$ e $28$ .

$s + C_{1} = \frac{28}{14} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $28$ e $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Scomponi $14$ da $28$ .

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.1

Scomponi $14$ da $14$ .

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14 (1)} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$s + C_{1} = \frac{14 \cdot 2}{14 \cdot 1} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$s + C_{1} = \frac{2}{1} \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$s + C_{1} = 2 \int u^{3} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{3}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ come $2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = 2 (\frac{1}{4}) u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

$2$ e $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{2}{4} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 (1)}{4} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$s + C_{1} = \frac{1}{2} u^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $7 t^{2} - 5$ .

$s + C_{1} = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $1$ e $s$ con $5$ in $s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$ .

$5 = \frac{1}{2} {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K = 5$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1^{2} - 5)}^{4} + K = 5$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{2} \cdot {(7 \cdot 1 - 5)}^{4} + K = 5$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $7$ per $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(7 - 5)}^{4} + K = 5$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $5$ da $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{4} + K = 5$

Passaggio 4.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Scomponi $2$ da $2^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 5$

Passaggio 4.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) + K = 5$

Passaggio 4.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$2^{3} + K = 5$

Passaggio 4.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$8 + K = 5$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 5 - 8$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $8$ da $5$ .

$K = - 3$

Passaggio 5

Sostituisci $- 3$ a $K$ in $s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $- 3$ a $K$ .

$s = \frac{1}{2} {(7 t^{2} - 5)}^{4} - 3$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Usa il teorema binomiale.

$s = \frac{1}{2} ({(7 t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $7 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (7^{4} {(t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.2

Eleva $7$ alla potenza di $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 {(t^{2})}^{4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{2 \cdot 4} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.3.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 {(7 t^{2})}^{3} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.4

Applica la regola del prodotto a $7 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (7^{3} {(t^{2})}^{3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.5

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 {(t^{2})}^{3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 t^{2 \cdot 3}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.6.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 4 (343 t^{6}) \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.7

Moltiplica $343$ per $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} + 1372 t^{6} \cdot - 5 + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.8

Moltiplica $- 5$ per $1372$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 {(7 t^{2})}^{2} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.9

Applica la regola del prodotto a $7 t^{2}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (7^{2} {(t^{2})}^{2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.10

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 {(t^{2})}^{2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.11

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.11.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 t^{2 \cdot 2}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.11.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 6 (49 t^{4}) {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.12

Moltiplica $49$ per $6$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 294 t^{4} {(- 5)}^{2} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.13

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 294 t^{4} \cdot 25 + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.14

Moltiplica $25$ per $294$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 4 (7 t^{2}) {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.15

Moltiplica $7$ per $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 28 t^{2} {(- 5)}^{3} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.16

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} + 28 t^{2} \cdot - 125 + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.17

Moltiplica $- 125$ per $28$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} - 3500 t^{2} + {(- 5)}^{4}) - 3$

Passaggio 5.2.2.18

Eleva $- 5$ alla potenza di $4$ .

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8} - 6860 t^{6} + 7350 t^{4} - 3500 t^{2} + 625) - 3$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$s = \frac{1}{2} (2401 t^{8}) + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Passaggio 5.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2} (2401 t^{8})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

$2401$ e $\frac{1}{2}$ .

$s = \frac{2401}{2} t^{8} + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Passaggio 5.2.4.1.2

$\frac{2401}{2}$ e $t^{8}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (- 6860 t^{6}) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Passaggio 5.2.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $- 6860 t^{6}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3430 t^{6})) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Passaggio 5.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 3430 t^{6})) + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Passaggio 5.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (7350 t^{4}) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Passaggio 5.2.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Scomponi $2$ da $7350 t^{4}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (3675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Passaggio 5.2.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + \frac{1}{2} (2 (3675 t^{4})) + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Passaggio 5.2.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (- 3500 t^{2}) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Passaggio 5.2.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Scomponi $2$ da $- 3500 t^{2}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 1750 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Passaggio 5.2.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} + \frac{1}{2} (2 (- 1750 t^{2})) + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Passaggio 5.2.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{1}{2} \cdot 625 - 3$

Passaggio 5.2.4.5

$\frac{1}{2}$ e $625$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} - 3$

Passaggio 5.3

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 5.4

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625 - 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 5.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{625 - 6}{2}$

Passaggio 5.6.2

Sottrai $6$ da $625$ .

$s = \frac{2401 t^{8}}{2} - 3430 t^{6} + 3675 t^{4} - 1750 t^{2} + \frac{619}{2}$