Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = x - \sin (x)$ , $y (π) = 3$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (x - \sin (x)) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int x - \sin (x) d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int x - \sin (x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int x d x + \int - \sin (x) d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - \sin (x) d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - \int \sin (x) d x$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - - \cos (x) + C_{4}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 1 \cos (x) + C_{4}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $π$ e $y$ con $3$ in $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ .

$3 = \frac{1}{2} π^{2} + \cos (π) + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot π^{2} + \cos (π) + K = 3$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

$\frac{1}{2}$ e $π^{2}$ .

$\frac{π^{2}}{2} + \cos (π) + K = 3$

Passaggio 4.2.1.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$\frac{π^{2}}{2} - \cos (0) + K = 3$

Passaggio 4.2.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - 1 \cdot 1 + K = 3$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{π^{2}}{2} - 1 + K = 3$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $\frac{π^{2}}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 1 + K = 3 - \frac{π^{2}}{2}$

Passaggio 4.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = 3 - \frac{π^{2}}{2} + 1$

Passaggio 4.3.3

Somma $3$ e $1$ .

$K = - \frac{π^{2}}{2} + 4$

Passaggio 5

Sostituisci $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ a $K$ in $y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- \frac{π^{2}}{2} + 4$ a $K$ .

$y = \frac{1}{2} x^{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \cos (x) - \frac{π^{2}}{2} + 4$