Calcolo Esempi

$t^{2} \cdot \frac{d y}{d t} + y^{2} = t \cdot y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t^{2} \frac{d y}{d t} = t y - y^{2}$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $t^{2}$ ciascun termine in $t^{2} \frac{d y}{d t} = t y - y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $t^{2}$ ciascun termine in $t^{2} \frac{d y}{d t} = t y - y^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{t y}{t^{2}} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{t y}{t^{2}} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d t}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t y}{t^{2}} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $t$ e $t^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1.1

Scomponi $t$ da $t y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (y)}{t^{2}} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1.2.1

Scomponi $t$ da $t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t (y)}{t \cdot t} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t y}{t \cdot t} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d t} = \frac{y}{t} + \frac{- y^{2}}{t^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d t} = \frac{y}{t} - \frac{y^{2}}{t^{2}}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{y^{2}}{t^{2}}$ come ${(\frac{y}{t})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{y}{t} - {(\frac{y}{t})}^{2}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{t}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = V - V^{2}$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{t}$ per $y$ .

$y = V t$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V t$ rispetto a $t$ .

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $t \frac{d V}{d t} + V$ a $\frac{d y}{d t}$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = V - V^{2}$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d t}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$t \frac{d V}{d t} = V - V^{2} - V$

Passaggio 6.1.1.1.2

Combina i termini opposti in $V - V^{2} - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$t \frac{d V}{d t} = - V^{2} + 0$

Passaggio 6.1.1.1.2.2

Somma $- V^{2}$ e $0$ .

$t \frac{d V}{d t} = - V^{2}$

Passaggio 6.1.1.2

Dividi per $t$ ciascun termine in $t \frac{d V}{d t} = - V^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Dividi per $t$ ciascun termine in $t \frac{d V}{d t} = - V^{2}$ .

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- V^{2}}{t}$

Passaggio 6.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- V^{2}}{t}$

Passaggio 6.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d t}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{- V^{2}}{t}$

Passaggio 6.1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{V^{2}}{t}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{V^{2}} (- \frac{V^{2}}{t})$

Passaggio 6.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d t} = - \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{t}$

Passaggio 6.1.3.2

Elimina il fattore comune di $V^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{V^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d t} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{t}$

Passaggio 6.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d t} = \frac{- 1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{t}$

Passaggio 6.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{V^{2}} \frac{d V}{d t} = - \frac{1}{t}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{V^{2}} d V = - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{V^{2}} d V = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Sposta $V^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(V^{2})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 6.2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(V^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int V^{2 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int V^{- 2} d V = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 6.2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $V^{- 2}$ rispetto a $V$ è $- V^{- 1}$ .

$- V^{- 1} + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi $- V^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{V} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Passaggio 6.2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \int \frac{1}{t} d t$

Passaggio 6.2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{t}$ rispetto a $t$ è $\ln (| t |)$ .

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - (\ln (| t |) + C_{2})$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica.

$- \frac{1}{V} + C_{1} = - \ln (| t |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{V} = - \ln (| t |) + C$

Passaggio 6.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$V, 1, 1$

Passaggio 6.3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$V$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica per $V$ ciascun termine in $- \frac{1}{V} = - \ln (| t |) + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{V} = - \ln (| t |) + C$ per $V$ .

$- \frac{1}{V} V = - \ln (| t |) V + C V$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{V}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| t |) V + C V$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{V} V = - \ln (| t |) V + C V$

Passaggio 6.3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - \ln (| t |) V + C V$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Riordina i fattori in $- \ln (| t |) V + C V$ .

$- 1 = - V \ln (| t |) + C V$

Passaggio 6.3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- V \ln (| t |) + C V = - 1$ .

$- V \ln (| t |) + C V = - 1$

Passaggio 6.3.3.2

Scomponi $V$ da $- V \ln (| t |) + C V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Scomponi $V$ da $- V \ln (| t |)$ .

$V (- 1 \ln (| t |)) + C V = - 1$

Passaggio 6.3.3.2.2

Scomponi $V$ da $C V$ .

$V (- 1 \ln (| t |)) + V C = - 1$

Passaggio 6.3.3.2.3

Scomponi $V$ da $V (- 1 \ln (| t |)) + V C$ .

$V (- 1 \ln (| t |) + C) = - 1$

Passaggio 6.3.3.3

Riscrivi $- 1 \ln (| t |)$ come $- \ln (| t |)$ .

$V (- \ln (| t |) + C) = - 1$

Passaggio 6.3.3.4

Dividi per $- \ln (| t |) + C$ ciascun termine in $V (- \ln (| t |) + C) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.1

Dividi per $- \ln (| t |) + C$ ciascun termine in $V (- \ln (| t |) + C) = - 1$ .

$\frac{V (- \ln (| t |) + C)}{- \ln (| t |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| t |) + C}$

Passaggio 6.3.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- \ln (| t |) + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{V (- \ln (| t |) + C)}{- \ln (| t |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| t |) + C}$

Passaggio 6.3.3.4.2.1.2

Dividi $V$ per $1$ .

$V = \frac{- 1}{- \ln (| t |) + C}$

Passaggio 6.3.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = - \frac{1}{- \ln (| t |) + C}$

Passaggio 6.3.3.4.3.2

Scomponi $- 1$ da $- \ln (| t |)$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| t |)) + C}$

Passaggio 6.3.3.4.3.3

Scomponi $- 1$ da $C$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| t |)) - 1 (- C)}$

Passaggio 6.3.3.4.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (\ln (| t |)) - 1 (- C)$ .

$V = - \frac{1}{- (\ln (| t |) - C)}$

Passaggio 6.3.3.4.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.3.5.1

Riscrivi $- (\ln (| t |) - C)$ come $- 1 (\ln (| t |) - C)$ .

$V = - \frac{1}{- 1 (\ln (| t |) - C)}$

Passaggio 6.3.3.4.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$V = - - \frac{1}{\ln (| t |) - C}$

Passaggio 6.3.3.4.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$V = 1 \frac{1}{\ln (| t |) - C}$

Passaggio 6.3.3.4.3.5.4

Moltiplica $\frac{1}{\ln (| t |) - C}$ per $1$ .

$V = \frac{1}{\ln (| t |) - C}$

Passaggio 6.4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = \frac{1}{\ln (| t |) + C}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{t}$ a $V$ .

$\frac{y}{t} = \frac{1}{\ln (| t |) + C}$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{y}{t} = \frac{1}{\ln (| t |) + C}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica ogni lato per $t$ .

$\frac{y}{t} t = \frac{1}{\ln (| t |) + C} t$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{t} t = \frac{1}{\ln (| t |) + C} t$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{1}{\ln (| t |) + C} t$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

$\frac{1}{\ln (| t |) + C}$ e $t$ .

$y = \frac{t}{\ln (| t |) + C}$