Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}}$ , $y (0) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 4 x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 \int x {(x^{2} + 8)}^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = x^{2} + 8$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = x^{2} + 8$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $x^{2} + 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 8]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int u^{- \frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

$u^{- \frac{1}{3}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{u^{- \frac{1}{3}}}{2} d u$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $u^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 2.3.5.1.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Sposta $u^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = 2 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Riscrivi $2 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2})$ come $2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.1

$2$ e $\frac{3}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.7.2.3.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$y + C_{1} = 3 u^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} + 8$ .

$y + C_{1} = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $0$ in $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ .

$0 = 3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$ .

$3 {(0^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3 {(0 + 8)}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Passaggio 4.2.2

Somma $0$ e $8$ .

$3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}} + K = 0$

Passaggio 4.2.4

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})} + K = 0$

Passaggio 4.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$3 \cdot 2^{2} + K = 0$

Passaggio 4.2.6

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$3 \cdot 4 + K = 0$

Passaggio 4.2.7

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 + K = 0$

Passaggio 4.3

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 12$

Passaggio 5

Sostituisci $- 12$ a $K$ in $y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 12$ a $K$ .

$y = 3 {(x^{2} + 8)}^{\frac{2}{3}} - 12$