Calcolo Esempi

$\frac{d A}{d t} = 0.05 A + 3200$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{0.05 A + 3200}$ .

$\frac{1}{0.05 A + 3200} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{0.05 A + 3200} (0.05 A + 3200)$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $0.05 A + 3200$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{0.05 A + 3200} \frac{d A}{d t} = \frac{1}{0.05 A + 3200} (0.05 A + 3200)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{0.05 A + 3200} \frac{d A}{d t} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{0.05 A + 3200} d A = 1 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{0.05 A + 3200} d A = \int d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 0.05 A + 3200$ . Allora $d u = 0.05 d A$ , quindi $\frac{1}{0.05} d u = d A$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 0.05 A + 3200$ . Trova $\frac{d u}{d A}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Riscrivi.

$\frac{0.05}{1}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Dividi $0.05$ per $1$ .

$0.05$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{20}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.2

Poiché $20$ è costante rispetto a $u$ , sposta $20$ fuori dall'integrale.

$20 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Passaggio 2.2.3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$20 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

$20 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $0.05 A + 3200$ .

$20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) + C_{1} = t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) = t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $20$ ciascun termine in $20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) = t + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $20$ ciascun termine in $20 \ln (| 0.05 A + 3200 |) = t + C$ .

$\frac{20 \ln (| 0.05 A + 3200 |)}{20} = \frac{t}{20} + \frac{C}{20}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $20$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{20 \ln (| 0.05 A + 3200 |)}{20} = \frac{t}{20} + \frac{C}{20}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $\ln (| 0.05 A + 3200 |)$ per $1$ .

$\ln (| 0.05 A + 3200 |) = \frac{t}{20} + \frac{C}{20}$

Passaggio 3.2

Per risolvere per $A$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 0.05 A + 3200 |)} = e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\ln (| 0.05 A + 3200 |) = \frac{t}{20} + \frac{C}{20}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}} = | 0.05 A + 3200 |$

Passaggio 3.4

Risolvi per $A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $| 0.05 A + 3200 | = e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}$ .

$| 0.05 A + 3200 | = e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$0.05 A + 3200 = \pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}$

Passaggio 3.4.3

Sottrai $3200$ da entrambi i lati dell'equazione.

$0.05 A = \pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}} - 3200$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $0.05$ ciascun termine in $0.05 A = \pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}} - 3200$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $0.05$ ciascun termine in $0.05 A = \pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}} - 3200$ .

$\frac{0.05 A}{0.05} = \frac{\pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $0.05$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.05 A}{0.05} = \frac{\pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{\pm e^{\frac{t}{20} + \frac{C}{20}}}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{\pm e^{\frac{t + C}{20}}}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

Passaggio 3.4.4.3.1.2

Moltiplica per $1$ .

$A = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{20}})}{0.05} + \frac{- 3200}{0.05}$

Passaggio 3.4.4.3.1.3

Scomponi $0.05$ da $0.05$ .

$A = \frac{1 (\pm e^{\frac{t + C}{20}})}{0.05 (1)} + \frac{- 3200}{0.05}$

Passaggio 3.4.4.3.1.4

Frazioni separate.

$A = \frac{1}{0.05} \cdot \frac{\pm e^{\frac{t + C}{20}}}{1} + \frac{- 3200}{0.05}$

Passaggio 3.4.4.3.1.5

Dividi $1$ per $0.05$ .

$A = 20 \frac{\pm e^{\frac{t + C}{20}}}{1} + \frac{- 3200}{0.05}$

Passaggio 3.4.4.3.1.6

Dividi $\pm e^{\frac{t + C}{20}}$ per $1$ .

$A = 20 (\pm e^{\frac{t + C}{20}}) + \frac{- 3200}{0.05}$

Passaggio 3.4.4.3.1.7

Dividi $- 3200$ per $0.05$ .

$A = 20 (\pm e^{\frac{t + C}{20}}) - 64000$