Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + y \tan (x) = 0$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Sottrai $y \tan (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} = - y \tan (x)$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- y \tan (x))$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (y \tan (x))$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \tan (x))$

Passaggio 1.3.2.2

Scomponi $y$ da $y \tan (x)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y (\tan (x)))$

Passaggio 1.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \tan (x))$

Passaggio 1.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \tan (x)$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = - \tan (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \tan (x) d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \tan (x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \tan (x) d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (x) |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| \sec (x) |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) + \ln (| \sec (x) |) = C$

Passaggio 3.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | \sec (x) |) = C$

Passaggio 3.3

Per moltiplicare dei valori assoluti, moltiplica i termini all'interno di ciascun valore assoluto.

$\ln (| y \sec (x) |) = C$

Passaggio 3.4

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y \sec (x) |)} = e^{C}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\ln (| y \sec (x) |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y \sec (x) |$

Passaggio 3.6

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $| y \sec (x) | = e^{C}$ .

$| y \sec (x) | = e^{C}$

Passaggio 3.6.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y \sec (x) = \pm e^{C}$

Passaggio 3.6.3

Dividi per $\sec (x)$ ciascun termine in $y \sec (x) = \pm e^{C}$ e semplifica.

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Passaggio 3.6.3.1

Dividi per $\sec (x)$ ciascun termine in $y \sec (x) = \pm e^{C}$ .

$\frac{y \sec (x)}{\sec (x)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

Passaggio 3.6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $\sec (x)$ .

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Passaggio 3.6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \sec (x)}{\sec (x)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

Passaggio 3.6.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{\sec (x)}$

Passaggio 3.6.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.6.3.3.1

Frazioni separate.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Passaggio 3.6.3.3.2

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Passaggio 3.6.3.3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (x))$

Passaggio 3.6.3.3.4

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (x)$

Passaggio 3.6.3.3.5

Dividi $\pm e^{C}$ per $1$ .

$y = (\pm e^{C}) \cos (x)$

Passaggio 3.6.3.3.6

Riordina i fattori in $(\pm e^{C}) \cos (x)$ .

$y = \cos (x) (\pm e^{C})$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \cos (x) C$