Calcolo Esempi

$x (y + 1) d x = (y^{2} + 1) (x^{2} + 1) d y$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$(y^{2} + 1) (x^{2} + 1) d y = x (y + 1) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} ((y^{2} + 1) (x^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x^{2} + 1$ da $(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} ((x^{2} + 1) (y^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} ((x^{2} + 1) (y^{2} + 1)) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 1} (y^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{y + 1}$ per $y^{2} + 1$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y + 1)} (x (y + 1)) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $y + 1$ da $(x^{2} + 1) (y + 1)$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (x^{2} + 1)} (x (y + 1)) d x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y + 1$ da $x (y + 1)$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Passaggio 3.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) (x^{2} + 1)} ((y + 1) x) d x$

Passaggio 3.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} x d x$

Passaggio 3.4

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ e $x$ .

$\frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y^{2} + 1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi $y^{2} + 1$ per $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$y$

$1$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $y^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

					$y$
	$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	+	$y$

Passaggio 4.2.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $y^{2} + y$

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$

Passaggio 4.2.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$

Passaggio 4.2.1.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$y$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$

Passaggio 4.2.1.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- y$ per il termine di ordine più alto nel divisore $y$ .

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$

Passaggio 4.2.1.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$
					-	$y$	-	$1$

Passaggio 4.2.1.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- y - 1$

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$
					+	$y$	+	$1$

Passaggio 4.2.1.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$y$	-	$1$
$y$	+	$1$		$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	-	$y$
					-	$y$	+	$1$
					+	$y$	+	$1$
							+	$2$

Passaggio 4.2.1.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int y - 1 + \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y d y + \int - 1 d y + \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y + \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + \int \frac{2}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + 2 \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.6

Sia $u_{1} = y + 1$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Sia $u_{1} = y + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 4.2.6.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 4.2.6.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 4.2.6.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 4.2.6.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 4.2.6.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + 2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.7

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} + 2 (\ln (| u_{1} |) + C_{3}) = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.8

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| u_{1} |) + C_{4} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.2.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sia $u_{2} = x^{2} + 1$ . Allora $d u_{2} = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Sia $u_{2} = x^{2} + 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1.1

Differenzia $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Passaggio 4.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.3.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 4.3.1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 4.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 4.3.4

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Passaggio 4.3.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{5}$

Passaggio 4.3.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) + C_{4} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{5}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + 2 \ln (| y + 1 |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$