Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = y^{2} - 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} - 1} (y^{2} - 1)$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2} - 1} (y^{2} - 1)$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2} - 1} \frac{d y}{d t} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2} - 1} d y = 1 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2} - 1} d y = \int d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2} - 1^{2}}$

Passaggio 2.2.1.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{(y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{y + 1}$

Passaggio 2.2.1.1.3

$\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.5

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (y + 1) (y - 1)}{(y + 1) (y - 1)} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.6

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (y - 1)}{y - 1} = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.7.1

Elimina il fattore comune di $y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (y + 1) (y - 1)}{y + 1} + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.7.1.2

Dividi $(A) (y - 1)$ per $1$ .

$1 = (A) (y - 1) + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A y + A \cdot - 1 + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.7.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$1 = A y - 1 \cdot A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.7.4

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.7.5

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.7.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A y - A + \frac{(B) (y + 1) (y - 1)}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.1.7.5.2

Dividi $(B) (y + 1)$ per $1$ .

$1 = A y - A + (B) (y + 1)$

Passaggio 2.2.1.1.7.6

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A y - A + B y + B \cdot 1$

Passaggio 2.2.1.1.7.7

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = A y - A + B y + B$

Passaggio 2.2.1.1.8

Sposta $- A$ .

$1 = A y + B y - A + B$

Passaggio 2.2.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $y$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 2.2.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $y$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 2.2.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 2.2.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Risolvi per $A$ in $0 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 2.2.1.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Passaggio 2.2.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $1 = - 1 A + B$ con $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.2.1

Semplifica $- 1 (- B) + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.2.1.1

Moltiplica $- 1 (- B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.2.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.2.2.1.2

Somma $B$ e $B$ .

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.3

Risolvi per $B$ in $1 = 2 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 B = 1$ .

$2 B = 1$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 B = 1$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.3.2.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Passaggio 2.2.1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = - B$ con $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $\frac{1}{2}$ .

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{y + 1} + \frac{B}{y - 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.5.2

Moltiplica $\frac{1}{y + 1}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(y + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.5.3

Sposta $2$ alla sinistra di $y + 1$ .

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y - 1}$

Passaggio 2.2.1.5.5

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{y - 1}$ .

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} + \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{2 (y + 1)} d y + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{y + 1} d y) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Passaggio 2.2.5

Sia $u_{1} = y + 1$ . Allora $d u_{1} = d y$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Sia $u_{1} = y + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1.1

Differenzia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Passaggio 2.2.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Passaggio 2.2.5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{2 (y - 1)} d y = \int d t$

Passaggio 2.2.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{y - 1} d y = \int d t$

Passaggio 2.2.8

Sia $u_{2} = y - 1$ . Allora $d u_{2} = d y$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Sia $u_{2} = y - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1.1

Differenzia $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Passaggio 2.2.8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Passaggio 2.2.8.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.8.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Passaggio 2.2.9

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

Passaggio 2.2.10

Semplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Passaggio 2.2.11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y + 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Passaggio 2.2.11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = \int d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) + C_{3} = t + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = t + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

$\ln (| y + 1 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| y - 1 |) = t + C$

Passaggio 3.1.1.2

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| y - 1 |)$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = t + C$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $2$ ciascun termine in $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = t + C$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} = t + C$ per $2$ .

$- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| y + 1 |)}{2}$ nel numeratore.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{2} \cdot 2 + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \ln (| y + 1 |) + \frac{\ln (| y - 1 |)}{2} \cdot 2 = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = t \cdot 2 + C \cdot 2$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Sposta $2$ alla sinistra di $t$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 \cdot t + C \cdot 2$

Passaggio 3.2.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| y - 1 |) = 2 t + 2 C$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y - 1 |)} = e^{2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (| y - 1 |) = 2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)} = | y - 1 |$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)}) = \ln (| y - 1 |)$

Passaggio 3.5.2

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Espandi $\ln (e^{2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)})$ spostando $2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)$ fuori dal logaritmo.

$(2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)) \ln (e) = \ln (| y - 1 |)$

Passaggio 3.5.2.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)) \cdot 1 = \ln (| y - 1 |)$

Passaggio 3.5.2.3

Moltiplica $2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |)$ per $1$ .

$2 t + 2 C + \ln (| y + 1 |) = \ln (| y - 1 |)$

Passaggio 3.5.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| y - 1 |) = - 2 t - 2 C$

Passaggio 3.5.4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 t - 2 C$

Passaggio 3.5.5

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |})} = e^{- 2 t - 2 C}$

Passaggio 3.5.6

Riscrivi $\ln (\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |}) = - 2 t - 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 t - 2 C} = \frac{| y + 1 |}{| y - 1 |}$

Passaggio 3.5.7

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 t - 2 C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |} = e^{- 2 t - 2 C}$

Passaggio 3.5.7.2

Moltiplica ogni lato per $| y - 1 |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 |$

Passaggio 3.5.7.3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.3.1

Elimina il fattore comune di $| y - 1 |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y + 1 |}{| y - 1 |} | y - 1 | = e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 |$

Passaggio 3.5.7.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y + 1 | = e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 |$

Passaggio 3.5.7.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.1

Riscrivi l'equazione come $e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 | = | y + 1 |$ .

$e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 | = | y + 1 |$

Passaggio 3.5.7.4.2

Dividi per $e^{- 2 t - 2 C}$ ciascun termine in $e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 | = | y + 1 |$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.2.1

Dividi per $e^{- 2 t - 2 C}$ ciascun termine in $e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 | = | y + 1 |$ .

$\frac{e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 t - 2 C}} = \frac{| y + 1 |}{e^{- 2 t - 2 C}}$

Passaggio 3.5.7.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 2 t - 2 C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- 2 t - 2 C} | y - 1 |}{e^{- 2 t - 2 C}} = \frac{| y + 1 |}{e^{- 2 t - 2 C}}$

Passaggio 3.5.7.4.2.2.1.2

Dividi $| y - 1 |$ per $1$ .

$| y - 1 | = \frac{| y + 1 |}{e^{- 2 t - 2 C}}$

Passaggio 3.5.7.4.3

Riscrivi l'equazione con valore assoluto come quattro equazioni senza le barre di valore assoluto

$y - 1 = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

$- (y - 1) = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

$- (y - 1) = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

Passaggio 3.5.7.4.4

Dopo la semplificazione, ci sono solo due equazioni univoche da risolvere.

$y - 1 = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

$y - 1 = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$

Passaggio 3.5.7.4.5

Risolvi $y - 1 = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.5.1

Moltiplica ogni lato per $e^{- 2 t - 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 t - 2 C} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Passaggio 3.5.7.4.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.5.2.1.1

Semplifica $(y - 1) e^{- 2 t - 2 C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y e^{- 2 t - 2 C} - 1 e^{- 2 t - 2 C} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Passaggio 3.5.7.4.5.2.1.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.5.2.1.1.2.1

Riscrivi $- 1 e^{- 2 t - 2 C}$ come $- e^{- 2 t - 2 C}$ .

$y e^{- 2 t - 2 C} - e^{- 2 t - 2 C} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Passaggio 3.5.7.4.5.2.1.1.2.2

Riordina $- 2 t$ e $- 2 C$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 t - 2 C} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Passaggio 3.5.7.4.5.2.1.1.2.3

Riordina $- 2 t$ e $- 2 C$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Passaggio 3.5.7.4.5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 2 t - 2 C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Passaggio 3.5.7.4.5.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = y + 1$

Passaggio 3.5.7.4.5.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.5.3.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} - y = 1$

Passaggio 3.5.7.4.5.3.2

Somma $e^{- 2 C - 2 t}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y e^{- 2 C - 2 t} - y = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Passaggio 3.5.7.4.5.3.3

Scomponi $y$ da $y e^{- 2 C - 2 t} - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.5.3.3.1

Scomponi $y$ da $y e^{- 2 C - 2 t}$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - y = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Passaggio 3.5.7.4.5.3.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} + y \cdot - 1 = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Passaggio 3.5.7.4.5.3.3.3

Scomponi $y$ da $y e^{- 2 C - 2 t} + y \cdot - 1$ .

$y (e^{- 2 C - 2 t} - 1) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Passaggio 3.5.7.4.5.3.4

Riscrivi $e^{- 2 C - 2 t}$ come ${(e^{- C - t})}^{2}$ .

$y ({(e^{- C - t})}^{2} - 1) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Passaggio 3.5.7.4.5.3.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y ({(e^{- C - t})}^{2} - 1^{2}) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Passaggio 3.5.7.4.5.3.6

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.5.3.6.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = e^{- C - t}$ e $b = 1$ .

$y ((e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Passaggio 3.5.7.4.5.3.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$y (e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Passaggio 3.5.7.4.5.3.7

Dividi per $(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)$ ciascun termine in $y (e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.5.3.7.1

Dividi per $(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)$ ciascun termine in $y (e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1) = 1 + e^{- 2 C - 2 t}$ .

$\frac{y (e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} = \frac{1}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Passaggio 3.5.7.4.5.3.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.5.3.7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- C - t} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.5.3.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} = \frac{1}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Passaggio 3.5.7.4.5.3.7.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y (e^{- C - t} - 1)}{e^{- C - t} - 1} = \frac{1}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Passaggio 3.5.7.4.5.3.7.2.2

Elimina il fattore comune di $e^{- C - t} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.5.3.7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (e^{- C - t} - 1)}{e^{- C - t} - 1} = \frac{1}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Passaggio 3.5.7.4.5.3.7.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{1}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Passaggio 3.5.7.4.5.3.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.5.3.7.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{1 + e^{- 2 C - 2 t}}{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}$

Passaggio 3.5.7.4.6

Risolvi $y - 1 = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.6.1

Moltiplica ogni lato per $e^{- 2 t - 2 C}$ .

$(y - 1) e^{- 2 t - 2 C} = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Passaggio 3.5.7.4.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.6.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.6.2.1.1

Semplifica $(y - 1) e^{- 2 t - 2 C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.6.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y e^{- 2 t - 2 C} - 1 e^{- 2 t - 2 C} = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Passaggio 3.5.7.4.6.2.1.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.6.2.1.1.2.1

Riscrivi $- 1 e^{- 2 t - 2 C}$ come $- e^{- 2 t - 2 C}$ .

$y e^{- 2 t - 2 C} - e^{- 2 t - 2 C} = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Passaggio 3.5.7.4.6.2.1.1.2.2

Riordina $- 2 t$ e $- 2 C$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 t - 2 C} = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Passaggio 3.5.7.4.6.2.1.1.2.3

Riordina $- 2 t$ e $- 2 C$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = - \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Passaggio 3.5.7.4.6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.6.2.2.1

Semplifica $- \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 2 t - 2 C}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.6.2.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y + 1}{e^{- 2 t - 2 C}}$ nel numeratore.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = \frac{- (y + 1)}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Passaggio 3.5.7.4.6.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = \frac{- (y + 1)}{e^{- 2 t - 2 C}} e^{- 2 t - 2 C}$

Passaggio 3.5.7.4.6.2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = - (y + 1)$

Passaggio 3.5.7.4.6.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = - y - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.5.7.4.6.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} = - y - 1$

Passaggio 3.5.7.4.6.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.6.3.1

Somma $y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y e^{- 2 C - 2 t} - e^{- 2 C - 2 t} + y = - 1$

Passaggio 3.5.7.4.6.3.2

Somma $e^{- 2 C - 2 t}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y e^{- 2 C - 2 t} + y = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Passaggio 3.5.7.4.6.3.3

Scomponi $y$ da $y e^{- 2 C - 2 t} + y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.6.3.3.1

Scomponi $y$ da $y e^{- 2 C - 2 t}$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} + y = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Passaggio 3.5.7.4.6.3.3.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} + y = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Passaggio 3.5.7.4.6.3.3.3

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y e^{- 2 C - 2 t} + y \cdot 1 = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Passaggio 3.5.7.4.6.3.3.4

Scomponi $y$ da $y e^{- 2 C - 2 t} + y \cdot 1$ .

$y (e^{- 2 C - 2 t} + 1) = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$

Passaggio 3.5.7.4.6.3.4

Dividi per $e^{- 2 C - 2 t} + 1$ ciascun termine in $y (e^{- 2 C - 2 t} + 1) = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.6.3.4.1

Dividi per $e^{- 2 C - 2 t} + 1$ ciascun termine in $y (e^{- 2 C - 2 t} + 1) = - 1 + e^{- 2 C - 2 t}$ .

$\frac{y (e^{- 2 C - 2 t} + 1)}{e^{- 2 C - 2 t} + 1} = \frac{- 1}{e^{- 2 C - 2 t} + 1} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Passaggio 3.5.7.4.6.3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.6.3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 2 C - 2 t} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.6.3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (e^{- 2 C - 2 t} + 1)}{e^{- 2 C - 2 t} + 1} = \frac{- 1}{e^{- 2 C - 2 t} + 1} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Passaggio 3.5.7.4.6.3.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{e^{- 2 C - 2 t} + 1} + \frac{e^{- 2 C - 2 t}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Passaggio 3.5.7.4.6.3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.6.3.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 1 + e^{- 2 C - 2 t}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Passaggio 3.5.7.4.6.3.4.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.4.6.3.4.3.2.1

Riscrivi $e^{- 2 C - 2 t}$ come ${(e^{- C - t})}^{2}$ .

$y = \frac{- 1 + {(e^{- C - t})}^{2}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Passaggio 3.5.7.4.6.3.4.3.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y = \frac{- 1^{2} + {(e^{- C - t})}^{2}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Passaggio 3.5.7.4.6.3.4.3.2.3

Riordina $- 1^{2}$ e ${(e^{- C - t})}^{2}$ .

$y = \frac{{(e^{- C - t})}^{2} - 1^{2}}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Passaggio 3.5.7.4.6.3.4.3.2.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = e^{- C - t}$ e $b = 1$ .

$y = \frac{(e^{- C - t} + 1) (e^{- C - t} - 1)}{e^{- 2 C - 2 t} + 1}$

Passaggio 3.5.7.4.7