Calcolo Esempi

$x (y d) y - (x + 1) d x = 0$

Passaggio 1

Somma $(x + 1) d x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x y d y = (x + 1) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{1}{x} (x (y)) d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x} (x y) d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y d y = \frac{1}{x} (x + 1) d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $x + 1$ .

$y d y = \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x + 1}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x} + \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.5

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Passaggio 4.3.6

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = x + \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Passaggio 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (x + \ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 x + 2 \ln (| x |) + 2 C$

Passaggio 5.3

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$y^{2} = 2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Passaggio 5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Passaggio 5.5

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = \pm \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Passaggio 5.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Passaggio 5.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Passaggio 5.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + 2 C}$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{2 x + \ln (x^{2}) + C}$