Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1$ , $y (1) = 2$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 2 x^{2} - \frac{x}{2} + 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 2 x^{2} d x + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 \int x^{2} d x + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Passaggio 2.3.4

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + \int - \frac{x}{2} d x + \int d x$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \int \frac{x}{2} d x + \int d x$

Passaggio 2.3.6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - (\frac{1}{2} \int x d x) + \int d x$

Passaggio 2.3.7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int d x$

Passaggio 2.3.8

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + x + C_{4}$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4} + x + C_{5}$

Passaggio 2.3.10

Riordina i termini.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + C_{5}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $2$ in $y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$ .

$2 = \frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

Passaggio 4.2

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot 1^{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2}{3} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} \cdot 1^{2} + 1 + K = 2$

Passaggio 4.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} \cdot 1 + 1 + K = 2$

Passaggio 4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2}{3} - \frac{1}{4} + 1 + K = 2$

Passaggio 4.2.2

Per scrivere $\frac{2}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} + 1 + K = 2$

Passaggio 4.2.3

Per scrivere $- \frac{1}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

Passaggio 4.2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.2.4.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

Passaggio 4.2.4.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + 1 + K = 2$

Passaggio 4.2.4.3

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{4 \cdot 3} + 1 + K = 2$

Passaggio 4.2.4.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3}{12} + 1 + K = 2$

Passaggio 4.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 \cdot 4 - 3}{12} + 1 + K = 2$

Passaggio 4.2.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.6.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{8 - 3}{12} + 1 + K = 2$

Passaggio 4.2.6.2

Sottrai $3$ da $8$ .

$\frac{5}{12} + 1 + K = 2$

Passaggio 4.2.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{5}{12} + \frac{12}{12} + K = 2$

Passaggio 4.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{5 + 12}{12} + K = 2$

Passaggio 4.2.9

Somma $5$ e $12$ .

$\frac{17}{12} + K = 2$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Sottrai $\frac{17}{12}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = 2 - \frac{17}{12}$

Passaggio 4.3.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{12}{12}$ .

$K = 2 \cdot \frac{12}{12} - \frac{17}{12}$

Passaggio 4.3.3

$2$ e $\frac{12}{12}$ .

$K = \frac{2 \cdot 12}{12} - \frac{17}{12}$

Passaggio 4.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$K = \frac{2 \cdot 12 - 17}{12}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.5.1

Moltiplica $2$ per $12$ .

$K = \frac{24 - 17}{12}$

Passaggio 4.3.5.2

Sottrai $17$ da $24$ .

$K = \frac{7}{12}$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{7}{12}$ a $K$ in $y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $\frac{7}{12}$ a $K$ .

$y = \frac{2}{3} x^{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{7}{12}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{1}{4} x^{2} + x + \frac{7}{12}$

Passaggio 5.2.2

$x^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{4} + x + \frac{7}{12}$