Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{2}$ , $y (1) = \frac{2}{5}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 1.2

Integra $\frac{2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 1.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 \ln (x)}$

Passaggio 1.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Passaggio 1.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{2}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

$\frac{2}{x}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{2}$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{2}$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{2}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 + 2}$

Passaggio 2.3.2

Somma $2$ e $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{4}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = x^{4}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int x^{4} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$x^{2} y = \int x^{4} d x$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$

Passaggio 7

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = \frac{1}{5} x^{5} + C$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{5}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{2} (\frac{1}{5} x^{3})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{1}{5} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.4

Dividi $\frac{1}{5} x^{3}$ per $1$ .

$y = \frac{1}{5} x^{3} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.2

$\frac{1}{5}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $\frac{2}{5}$ in $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{5} = \frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}}$

Passaggio 9

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$ .

$\frac{1^{3}}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

Passaggio 9.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1^{2}} = \frac{2}{5}$

Passaggio 9.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{5} + \frac{C}{1} = \frac{2}{5}$

Passaggio 9.2.3

Dividi $C$ per $1$ .

$\frac{1}{5} + C = \frac{2}{5}$

Passaggio 9.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Sottrai $\frac{1}{5}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}$

Passaggio 9.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$C = \frac{2 - 1}{5}$

Passaggio 9.3.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$C = \frac{1}{5}$

Passaggio 10

Sostituisci $\frac{1}{5}$ a $C$ in $y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{C}{x^{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci $\frac{1}{5}$ a $C$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{\frac{1}{5}}{x^{2}}$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 10.2.2

Combina.

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1 \cdot 1}{5 x^{2}}$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $1$ per $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{5} + \frac{1}{5 x^{2}}$